教材、教师、教学、学生怎么经得住“这一问”？

摘要：“这一问”，发生在《三角形稳定性》的课堂上，幸有学生的当众作答。作为课例研究行动的尝试，本文尽力呈现出这堂课教学设计的初终及落实教学内容与目标的具体情况，尤其是，教学交往行动中师生通过对复杂事物的视、触、作（制）、说、论（写）等的学习（活动），来达成这节课较简单的教学目标——了解几何图形三角形的稳定性。从“钉在哪”的事情（行动）出发，启动了学生对事物（三角形）稳定性的“刻画”要求，经历了从感知事物到认知（抽象描述）事物的学习活动过程。从现象到本质，教师的设问行动，从集中考问了学生的感受、体验（经验判断）逐步展开，并通过实验验证，鲜明了我们在几何教学中注重基本活动经验（四基之一），注重利用图形语言培养学生图形直观、抽象与空间想象力的基本教学立场，鲜明了我们触及学生的原初经验来实现有效教学对话的立场；同时，由于这节课的重构，也是充分利用教材、教辅材料进行的，关涉到教材（文本）编写者与教师们的已往用教材的经验，以及由考试目标内导的教学行动选择。“这一问”问出千篇一律的正确性是令人担忧的（现象），也是本文试图以“这一问”所带来的问题，引发更多教师来进一步探讨我们的数学课堂教学。

关键词：课例研究；图形实验；图形抽象；简单认知目标；复杂图形的应用

1、《三角形稳定性》课例研究的背景说明

以下呈现的课例《三角形的稳定性》（实验教学课），是安徽省祁门县“国培计划（2016）”送培送训专家团队设计（笔者主创，执教），并在送培送训活动中完成的一堂年度培训实境教学研讨课。（后又换教师执教，做为“国培”送训观摩课，与全县教师充分探讨）

随着教学观摩课的实境展开，这节课的独特性，并不仅仅因直观事物给教学现场带来的教学冲击力，可以说，更直接冲击了在场教师在惯常（习性）中自足的教学观念与经验。“这一问”，真的问出事来了，问得在座的教师也有点拿捏不住了。由于，在惯常中学生的正确性答案中（木条钉在对角线上）没有例外；自然，教师们一直都认为这样很“安全”，“安全”的不知道“这一问”可以打开一扇窗，打开一个更有趣、更复杂的教学世界。

实境教学背景中完成的这节课，有触发点、有偶然性、有学生的实际情况、有教师独特（或临时）的行动意图和调整；又有教材、教辅背景；也有学生惯习的学习经验与应答状况；更有事后，我们对教学的有效性以及对课标、数学核心素养培育等的讨论与吸收，所以，综合我们这次课程行动（课例研究）的经历，提出我们思及的一些问题，请教方家，以便继续完善属于我们的——《三角形的稳定性》（图形实验教学课）。

“这一问”？

“这一问”，改造于我们正在使用中的《数学》教科书[人教版八年级（上）]，第9页，习题11.1（拓广探索）第10题：

要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？（原题）

课堂上，我们只是在学生回答了“至少钉几条”后，面对图形，再要求：钉在哪？请画出来。

看到学生们都把木条钉在了对角线上，并获得正确的解释后。我们提出了“这一问”：如果把一根木条钉在四边形木架相邻的两边上（而不是对角线上），原四边形木架变形吗？

（备有教具验证物）

为什么要提出“这一问”？ （如果是自主的课堂学生提出来或误撞出来的呢？）

现场的教学观察，在提出“这一问”之前，对于前一问，几乎全班的学生都沉浸在他们交出的正确答案中（学生们并不觉得难），而且也有了很充分的解释。教师完全可以对“这一问”视而不见。这种僵直的“正确性”，应该是我们教学的直接结果吗？是怪罪我们自己、怪罪学生、怪罪教材，还是怪罪教学？教学理应如此，才“合课程标准、合教学目的、合考试目标、……”？

说是，“以问题为导引”、“鼓励学生发现问题”、“提出问题比解决问题更重要”……，因此，我们想把这一问题向与教学有关的“课标、教材、教辅编写人员，命题者，教师，学生等”提出来。

如果是学生在板演中画出来，教师能够给出合理且充分的解释吗？

由于教学实践的复杂性，且不说提出的这个问题是不是个“好问题”，可以引起有关的讨论，并有益于教学品质的提升；在没有获得相关建议之前，基于教师教学的自主性，我们把自己的有关《三角形稳定性》这一课的课例设计的意图、理由及一些课堂教学状况尽力做出报告。

我们怎样在课堂上提出“这一问”？——《三角形稳定性》实境教学活动环节的展开

由于“这一问”的教学活动预期的主导，我们的实验课《三角形稳定性》的教学通过以下六个活动环节来展开。从视、触觉的感性认识的发生，到作图、论述的理性认识的形成，其中渗透了以事实为依据，与事物是联系的基本思想。在第四活动环节提出“这一问”，起到了对整节课承前启后的作用。

活动一：看事物——观察物体与图形现象，唤醒原初经验

通过看三角形、四边形木架的制作微视频，让学生结合经验来谈印象中的三角形的稳定性与四边形的不稳定性，在观看后引发学生思及增加什么条件，可以使得不稳定的四边形变得具有稳定性。

活动二：摸物体——触摸物件（教具），感知物体支架的稳定性与不稳定性

通过“盲摸”（触觉感知），充分感受三角形物体的稳定性，以备后面，区分可看不可摸的三角形图形的稳定性。

活动三：试制图形——在构造几何图形的活动中，感知几何图形的稳定性与不稳定性

根据语言的描述，结合想象，尝试制作（画图）四边形，并在协作中比较在不同的条件下构造出的四边形；考问，四边形何以不稳定；寻找复杂情况下，导致四边形获得稳定性的原因（三角形稳定性之在）。

活动四：抽象图形——提出“这一问”

通过对固定四边形木架的直观感受，来体会三角形稳定性原理的存在，领会物体特性中有几何图形的抽象性质——三角形的稳定性——所在。

活动五：深度阅读教材——关联教材设问的整体意趣与认知目标

从课本中挑选出逐步深入的问句，让学生结合上述活动深刻领会三角形的稳定性之在，同时感知事物联系的思想，结合（雨伞）应用感知控制的思想。

活动六：阐释现象（应用）——初试论述（说明）

通过练习题中问题说明的要求，进一步启发学生生活观察（雨伞内支架的控制与习题形构的直观对比），领会“用事实说话”的道理，并尝试证明，同时，更深入地理解三角形稳定性（知识）的应用。

“这一问”在课堂教学中的地位——“钉在哪？请画出来”

“这一问”，成为课堂的亮点，从教学现场看，学生与听课教师都被“这一问”的提出所吸引——“眼睛发亮”，然而，“发亮”眼睛，并不能看出四边形木架是否固定了，既便肯定，又怎么“解释”这一现象呢？是语言之难、理论之难、解释之难，还是经验描述之难？（本文后面，有洪蕊同学用自已语言的现场解释，课录视频上，有教师与学生抬头倾听洪蕊同学解释的情形）

且不说，课堂究竟是学生的生成点亮，还是由教师来点亮的。至少，我们设计的“这一问”，有了学生的作答。“这一问”本身究竟有何魅力呢？仔细折分，前句“钉在哪”是面对物体做事的经验牵动；后句“画出来”是初试图形语言（抽象），最终凭什么对现象做“判断”才是难以拿捏的，或可说，这里可以有经验判断与理论判断的共在，有了事实说话，也可以有理论证明。学习或思索，仿佛总是在经验与理论中往来的。

说“这一问”承前启后，也就是“这一问”承接了活动一、二、三中的“看”、“摸”、“画”的经验；启发了活动四、五中需要对现象、习题，做出“论”说（用三角形的稳定性）。

话说“面对事情本身”（现象学口号），在我们看来，也就是教学需要利用一切可能的契机回归学生们的经验世界。正因为难，也如这节课，我们也是有顾虑的，可以说，我们反复思考了自己已往的做法，也对“用教材”、“用教辅”做了深入的反思。

就这一课，我们是怎样“用教材”教的

我们已往对待这一课——《三角形的稳定性》——的态度及做法是，由于“三角形稳定性”常不做为论证的根据（在知识蓄备目的上的），它仅成了一个联系实际的知识点。在“知道”层次上孤零了它，可能是一个比较现实的选择，很多教师是一带而过。

再打开教参说明，《教参》上使用的是“了解”、“介绍”、“顺带介绍”、“举出”等等这些行为动词；也有“联系实际”、“通过实验”。在我们的教学设计中，唯有“通过实验”可以给我们的做法（教学设计）提供支撑，但其他教师可以忽略，或者通过课本配图“看实验”，再有心者制作《几何画板》的动态模拟效果图，也只能起到演示的作用。学生仍然处在“看”图中。所以，我们设计的第一教学环节，不如让学生更充分地“看”过程（视频），然后，挑战他们的“看”的满足感。看看在认知水平的“了解”与“理解”之间，能不能增加些直观“领会”。

似乎，我们的“这一问”并不满足于学生“了解”、“知道”，而不同于教材编写者在控制着学生的认知水平（目标）编教材引导学生学习那样。

首先，教材把问题放在“拓展探索”的最后，已经是足够难了，连设问也没让学生去画，只是问“至少几条”——想象着去数抽象的条数；不知道为什么要有意关闭直观，还是确保“别钉出事来”，这里，似乎并不主张“通过实验”了；

其次，控制的更好的是课本的这样一段话（见课本第7页）：“还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变。这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形。”这段话，真的像是“看实验”看出来的。学生读课文中的句子，如果真的做实验，那么“发现”的“斜钉”，可能就不会是仅仅“变成两个三角形”了（我们的“这一问”，钉出的是一个三角形与一个五边形，可能算大不韪了）。只能说是严格地控制了“实验”，或根本无需“通过实验”。

可能正由于课本上“这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形”这句话固化了教师和学生，所以，千篇一律地“钉对角线”获得正确性，也就不奇怪了。

什么原因造成“通过实验”仅是个幌子？是由于“三角形稳定性”在知识体系中的临界地位？是与专业知识的复杂技能技巧或解题技巧无关？还是宁愿让学生去深度阅读上述这段文字来学几何？至此，我们不敢肯定的是，教材编写者是真的注重“基本活动经验”、“基本数学思想”，还是盯着“双基”保安全。

教师离不开教材，因为学生课后还会去读。所谓“用教材”，我们也进行了深度阅读的指导，而且，不仅仅是指出上述那段话的局限来达到深度阅读的。我们的做法，也体现在这节课上，也就是在第五教学环节，从书中提取出三个问题组成“问题组”，先是逐一回答，然后是整体综合起来再思考“问题组”的意趣，从而渗透了应用中联系与控制的思想。

就这一课，我们是怎样“用教辅”的

《新编基础训练》，是安徽省允许学生自愿征订的教辅资料，学生人手一册，做为外课练习使用，也有地方中考命题的导向价值。也是备作业，我们在《三角形的稳定性》（实验教学课）的教学设计中审查了《新编基础训练》的作业题。可以说，这节课的第三、四、五教学环节，受到《新编基础训练》当中的以下问题的支撑（问题导向）；而且，我们查觉到问题的内在线索正是“联系地”、“控制地”运用三角形的稳定性。因而，在课堂教学中使用“这一问”，不仅能切中学生的感悟和实验体验，渗透基本数学思想；而且能激发学生展开更进一步的实验探究，不至于，学生拿到这些课后作业，一点头绪都没有。

习题：（课堂练习）用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两个螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，请分别求出相对两螺丝距离的取值范围。（《新编基础训练》）

2、课例研究的行动之维

做为教学实践者，以上也只是教者对教学材料“课本、教辅”的解读和运用的能力的体现，或者简称为“用教材”，可以算做是教师背景能力的方面，但这些行为能力不是直接在场的行动力，只是间接的实境教学影响力，或可看做是构成一个教师底蕴的某部分东西，有力地支撑了在场教学交往的发生；但在场行动的交互发生的作用和意义，才可以说成是一堂课的意境或“质性”感。所以，接下来，我们想从教师身体性的介入后的教学行动整体，结合这节课，或者说结合“这一问”所引发的学习行为，来考虑一些问题。或者，叫做行动研究之维的。

第一，面对学习材料的在场与师生原初感受、体验的发生

从惯常的对待“学习材料”的态度看去，无非是课本的语言叙述或其它符号与图形语言，说是“知识的”、“技能的”、“思想的”，而很少是“经验、经历的”。“双基”观念的深入人心，实际上，无形中在回避学生的原初感受与体验，与“悬搁”相比，“强化”已然成了教师基于“双基”教学的基本手段和教学惯习，从而想像着能获得较高阶的认知层次的学习的“有效性”；也同时导致了教学实践感的长期失缺。

不能肯定我们的教学活动展开的“还原”意蕴和效度，为什么我们“让学生盲摸三角形物体的稳定性”，这与“看”、“说”、“制”、“论”“用”究竟有何联系或生发，是我们难以测定的。但是，通过这堂课教学，“稳定性”相对于“不稳定性”而存在；同时，它们在“看”、“摸”、“作”、“说”、“论”、“用”等学习行动中出现；渗透的是事物联系的、控制的思想；而且又是学生手中的雨伞的应用。这与布卢姆“用复杂的认知过程达成较简单的目标”是否对应并不重要，重要的是使学生获得经验、经历里的“原初对象”、“抽象过程”及事物对象（抽象）的形成与联系，当然，还有不可对象化的或不可言说的境在的精神与意义。

“三角形木架、四边形木架”（教具），成了这堂课别样的“学习材料”，不是课本上“看看”可以体认的。这是课堂上直接联系学生“基本经验”的学习材料。教具在这节课中总共出现四次：第一，看物体“稳定性与不稳定性”的构造过程；第二，“触摸”到物体的“稳定性与不稳定性”；第三，用可“触摸”的稳定性事实说话（获得经验判断）；第四，通过直观判断直接得到问题的结果。无论是考量数学教学中的合情推理与逻辑推理的关系；还是要面对经验判断与逻辑判断可能产生的认知冲突；再或是使学生有图形语言抽象化的经历，教学活动本身无疑是落实学生“感受与体验”事物（对象）的充分，而不是“免于干扰”或无视背景地进行“强化”的学习与思考。或者，在记识“什么是三角形的稳定性”之类的描述性定义（学习任务），来“打基础”。

第二，学习者在场的表达是在不同认知层面上结合自身感受、体验而形成的自组织的“知识”（建构的）

也许有了“感受与体验”，无需进行“在场表达”，这里也就有了有关“对话式教学”与“讲授式教学”，以及教学方式（仪式）的现实思考。也不能说“讲授式教学”仅是着重对文本、词语、符号等的解释展开的，也会查实学生获得感受、理解的实际状况；恰恰是“学生的实际”并不是讲授者可以“预见”的，不是“备学生”可以完控的，更何况动态的学习过程本身就可能生成被激发出的“事物”，比如“相长”的内容。（这里就不针对有关知识的不同形态展开讨论了）

也许这节课，我们并没有着急让学生去回答“什么是三角形的稳定性”，而是努力地逼近学生的原初感受与体验，联系学生的已有经验去直观、去思索、去判断，并鼓励他们对自已的“判断”做出解释。或者说，这节课，让学生在叙述事实材料的过程中，看到“稳定性”事物与“不稳定性”事物的关联性。通过堂课上，师生一起听洪蕊同学的现场解释活动，可见一斑。（学生的这一解释，也不同与教师预备的另一种解释，就是用“活动三”的制作事实进行解释）

师：吴璇，你看到什么？

吴璇：看到一个三角形和一个五边形。

师：它们稳定吗？

吴璇：三角形稳定，五边形不稳定。

师：曹敏君，你认为呢？

曹敏君：三角形稳定，五边形不一定。

师：同学们可以再想一想，为什么？

洪蕊：我觉得这两个图形都是稳定的。因为三角形是稳定的，那么三角形的两条边所在的线段的位置也是稳定的，……

师：同学们听明白没有？还有同学不相信，那么，我把教具拿出来，让同学们摸一摸，看看是不是稳定的。（随即让同学触摸感受）……那么，我们再请洪蕊同学拿着教具给同学们做解释。

洪蕊：……线段的位置稳定，也就是线段的两个端点位置固定了，两个端点确定了，它们之间线段的长度也就确定了，相当于有一条看不见的固定了长度的隐形的线段存在，与上面两条边构成了一个稳定的三角形，最终使得整个图形稳定。

如果说，空间观念主要是根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动变化；依据语言的描述画出图形等。那么，上述洪蕊同学的“表现”，能让我们看到一个学生在场的“空间观念”的具体形成过程。

现实情境和学生经验是发展空间观念的基础，要“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。这里也是这堂课的教学生成，仿佛是我们有意在“对话教学”中兑现学生“表达”的（人的）存在感，在教学生活中追求有效教学的实践意义。

3、结语

直至《三角形稳定性》一课的“设计与课堂教学实录”（作品）———《第十一章 三角形--11.1 与三角形有关的线段--11.1.3三角形的稳定性》——被评为教育部“一师一优课、一课一名师” 活动“优课”，也有些时日了。想放下（也是觉得无力承受）由这一课、课中“这一问”所触发的诸多问题或做出进一步的探讨与报告。

我们没有经历过系统的课例研究的专门训练，但基于课例研究的目的，我们似乎不满足于获得“一般性”的范例课来做为研究的完满，然而又不愿错失研究中触及的诸多问题，并希望能够逐一地疏理出来。

反思这堂课的行动及背后的理念，是在教学实境中试图落实的具体，教学和顾虑和隐忧离不开对活动背景和教学有效性的判断，以及要做出进一步行动的选择的艰难。有了这次教学尝试的冒险，至少引起了我们对图形语言的抽象化过程的教学想象，思及在数学教学活动中，什么是数学核心素养？什么是数学基本能力？什么是基本活动经验？什么是认知冲突？什么是独特的感受性？……；其次，领会到教学对话是要近可能地贴近学生的原初感受、原初经验，尝试不同的语言，交叉地展开教学对话，如物体（事实）语言、图形语言、文字语言、身体语言、数学符号语言……；再次，领会到布卢姆“用复杂的认知过程达成较简单的目标”，也是海德格尔的“在者之在”，也就是认识事物，并非总是从“在者”出发的。