椭圆与双曲线的第三定义、推广及应用

一、从教材中探究原型

高中数学人教版选修2-1中41页的一道例题是这样的：

点A、B的坐标分别是（-5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。

55页中的探究题是这样的：

点A、B的坐标分别是（-5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。

这两道题由设点坐标，再根据斜率之积可以得出轨迹的形状分别为椭圆和双曲线。仅仅由于AM、BM斜率乘积的符号不同，最后得到的曲线的形式不同，这其中是否能够推理出什么呢？

 

二、推理与证明

带着疑问，我们把点A、B的坐标一般化，我们从问题的逆向出发来探索问题。下面仅以椭圆为例，来将例子推广到一般化：

所在直线为x轴，、所在线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上不与顶点重合的一个动点。

解：由于（2a>2c）,

得

整理可得：

观察到

故原式可以化为(-1<)

上式的几何意义即为：动点（x,y）到两定点(-a,0),(a,0)的斜率乘积等于常数m(-1<m<0)的点的轨迹为椭圆。(x)

 

同理，根据双曲线的性质能够推出，()，其几何意义为：动点(x,y)到两定点(-a,0),(a,0)的斜率乘积等于常数m(m>0)的点的轨迹为双曲线。(x)，这就是椭圆与双曲线的第三定义。

 

椭圆与双曲线的第三定义 平面内的动点(x,y)()到两定点A(-a,0)，B(a,0)的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。

三、结论的推广与证明

 

 

推论1：若线段AB是过椭圆(a>b>0)中心的任意一条弦，M是与A、B点相异的任意一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则

证明：设M(x,y),A(x₁,y₁),B(-x₁,-y₁)

则

由于=1，=1，两式相减可得：=0

变形得：

 

推论2：若线段AB是过双曲线(a>b>0)中心的任意一条弦，M是与A、B点相异的任意一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则

（证明方法同推论1）

 

四、第三定义的应用

利用圆锥曲线的第三定义及其推论，能够帮助我们解决高中数学中的一些问题。

1、 （高中数学人教版选修2-1例题）如图4.1，矩形中，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、S、T是线段OF的四等分点，是线段CF的四等分点，请证明直线与、与、与的交点都在椭圆上。

 

解：以L点为例，由题可知，(4,)，G(0,3)，E(0,-3)，R(1,0)，

=，即点到两定点的直线的斜率乘积为定值，因此L在椭圆上，同理M、N均在椭圆上。

 

2、 设双曲线的左右顶点分别为A₁、A₂，P点为双曲线右支上不与A₂重合的动点，且有，则_________。

解：由题意可知，，设，，则直线的倾斜角为，

由双曲线的第三定义可知：

==

因此

得

因此，

故

 

3、 已知A、B是椭圆(a>b>0)长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为、，且。若的最小值为1则椭圆的离心率为______。

解：连接MB，由椭圆的第三定义可得：，

又∵

∴，

∴

 

五、第三定义的变形

5.1已知椭圆(a>b>0)，A、B是椭圆上的两个动点，M为平面上一动点且满足，则若已知下图任意两个条件，可以推出第三个条件：

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2已知双曲线 (a>b>0)，A、B是椭圆上的两个动点，M为平面上一动点且满足，则若已知下图任意两个条件，可以推出第三个条件：

 

 

 

 

 

 

 

限于篇幅，证明过程留给读者去完成，也可参照相关资料继续探究。

六、总结与反思

本文提及的椭圆与双曲线的第三定义及其推论、变形，探究了过椭圆中心的弦的端点和椭圆上不与弦端点重合的动点连线的斜率乘积，椭圆与双曲线的第一定义表明了椭圆上的点到两焦点的和（差）关系，第二定义描绘了点到焦点与点到准线的距离之间的关系。在解题时如果能将椭圆和双曲线的三种定义结合起来巧妙地运用，就能够起到事半功倍的效果。

 

 

参考文献:

[1]黄志鲲. 关于“椭圆、双曲线的第三定义”一文的讨论[J]. 数学教学研究, 2002, (12): 38-39.

[2]孙兆会, 向志平. 椭圆、双曲线的第三定义[J]. 数学教学研究, 2002, (3): 23-24

[3]冯建伟. “圆、椭圆和双曲线的统一定义（第三定义）的探究与定义”[J]. 课程教育研究, 2014, (19): 113-114.