站内搜索: 

关于我们

《数学大世界》杂志简介 简介信息: 《数学大世界》是经国家新闻出版总署批准,创刊于1994年。为了进一步深化新课程改革,促进学术交流、促进数学专业教育人才的快速成长,《数学大世界》杂志社将隆重推出以面向大、中、小学教师和教科研人员为主要读者对象的教学辅导刊物,为广大数学爱好者提供一个相互促进、共同探究的交流平台。 《数学大世界》为月刊,国内刊号...>>更多

2018年3月刊

您的位置:首页 > 2018年3月刊

巧用秦九韶算法求解二进制
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2018/5/10 阅读数:277

巧用秦九韶算法求解二进制

摘要:在教学中,许多学生对人教版数学A版必修三中讲解的除二取余法求二进制时的思想不理解。本文结合秦九韶算法详细剖析了“除二取余”方法求二进制的演化过程,使学生更好的理解了“除二取余”方法求二进制时的思想。

关键词:二进制;除二取余法;秦九韶算法;演化过程

在《数学》人教版A版(必修三)第一章中,通过辗转相除法与更相减损法、秦九韶算法、进位制三个算法案例让学生理解到了算法思想的连续性,并进一步引导学生运用算法案例中的方法解决实际问题。但教材中三个算法案例为独立阐述,抛开了三者的关联性和串接性,未做到向学生充分传授算法相通相融的思想。

在进位制算法案例中,教材分为三个部分具体进行阐述:k进制化为十进制,十进制化为k进制和k进制之间的互化。教材重点以十进制化二进制为例,对“如何将十进制化为k进制”这一问题进行了剖析。本文从不同进制数据之间转化思想出发,讲述了如何从秦九韶算法推导除二取余法,详细阐释了算法之间的演化和联系,并通过在教学证明充分利用算法之间的关联性,采用关联教学法还可以达到一个更好的教学效果。

1除二取余法

人教版数学A版必修三是以例题将89化为二进制数,主要思路是根据二进制数“满二进一”的原则,用2连续去除89或所得商,其中书本上具体计算方法如下。

因为:

89=2×44+1

44=2×22+0

22=2×11+0

1=2×5+1

5=2×2+1

2=2×1+0

1=2×0+1

所以:

89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1

=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1

=……

=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20

=10110012

其中,下标2表示二进制。

2秦九韶算法

秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了计算过程,即使在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法。

3秦九韶算法到除二取余法的演化

在教学过程中,很多学生并不能很自然地通过满二进一思想来洞悉除二取余法,若通过秦九韶算法过渡到除二取余法,做到了知识的迁移和升华,且避免了一部分同学由于不理解满二进一而掌握不好除二取余法。下面具体讲述秦九韶算法到除二取余法的演化。

我们先由2进制化为10进制入手,即有公式:

(anan-1an-2a1a0)2=(an×2n+an-1×2n-1+an-2×2n-2+

…+a1×21+a0×20)10        1

我们可以很轻松的把10110012化为89,这时若要将89化为二进制的形式,即:

8910=(anan-1an-2a1a0)2       2

89代入公式(1)中,则

89=(an×2n+an-1×2n-1+an-2×2n-2+…+a1×21+a0×20)10

3

关键点在于确定公式(3)中的a0, a1,…an-2, an-1, an。我们细细观察这个式子,这与秦九韶算法形式相同,利用秦九韶算法将其变形,即89=an×2n+an-1×2n-1+an-2×2n-2+…+a1×21+a0×20

=(an×2+an-1)×2n-1+ an-2×2n-2+…+a1×21+a0×20

=((an×2+an-1)×2+ an-2)×2n-2+…+a1×21+a0×20

=(((((an×2+an-1)×2+ an-2)×2+…+a1)×21+a0×20

4

若将式子(((((an×2+an-1)×2+an-2)×2+…+a1)×21看做一个整体,a0即是余下的部分,且a0是比2小的整数,从除法的角度来看,a0即是89除以2后得到的余数。

89÷2=44…1,即确定a0=1,则:

(((((an×2+an-1)×2+an-2)×2+…+a1)=44

类比同样的方法,得:

44÷2=22…0,确定a1=0

依次类推,直到第六步:

2÷2=1…0,确定a5=0

再到第七步:

1÷2=0…1,确定a6=1


若再进行下去,a7, a8, a9…an都将为0,对结果无影响,因此当出现商为0时结束计算。课本上直接用除法算式得到余数,再把上式中各步所得的余数从下到上排列,学生很疑惑。

运用秦九韶算法过渡到除2取余法,在计算过程中是最先确定依次确定到正常排列顺序是a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6,最终我们却要得到:(89)10=(a1a2a3a4a5a6)2  5

这才完全解释清楚把上式中各步所得的余数从下到上排列,学生才慢慢理解参悟。

在教学中,我们在高一年级两个平行班(1班和4班)进行实践教学:1班是以书本思路讲授除二取余法,4班则以秦九韶算法过渡到除二取余法。课后反馈1班学生能很好理解十进制化二进制要采取除二取余法,但很多学生根本不理解满二进一这一思想下是如何得到的除二取余法,对除二取余法认识欠缺;而4班学生则能很好的理解这一思想,且对两种数学算法思想的掌握情况都较1班好。这也证明,通过在教学证明充分利用算法之间的关联性,采用关联教学法可以达到一个更好的教学效果。

4结论

秦九韶算法作为古代数学中的著名算法,与进位制有关算法则是现代计算机科学中普遍使用的算法,通过秦九韶算法过渡到进位制,两者的完美融合突出了深刻的数学思想随着时间变化有着不同的表现。

参考文献

[1]人民教育出版社,课程教材研究所,中国数学课程教材研究开发中心.数学(必修3[M].人民教育出版社A版.

[2]王永婷.对秦九韶算法教学的几点思考[J].卷宗,2015206-207

360 百度 中国知网 全网目录