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2020年11月刊

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几何变换下的图形思考
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2020/12/31 阅读数:408

几何变换下的图形思考

——2017年成都中考几何压轴题的思考

摘要:成都中考27题是平面几何的压轴题,该题的第(2)(3)问难度较大,不仅包含了三角形、四边形等相关基础知识,而且蕴含了数形结合、几何变换等数学思想,需要很强的数学思维品质,而要达到这样的思维品质,我们需要如何开展我们的教学?现根据2017年的成都中考27题进行分析。

关键词:形题数解几何变换辅助圆思维品质

1.试题呈现

2017•成都)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则DBC的中点,∠BAD=∠BAC=60°

迁移应用:如图2△ABC△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°DEC三点在同一条直线上,连接BD

求证:△ADB≌△AEC

请直接写出线段ADBDCD之间的等量关系式;

拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CECF

证明△CEF是等边三角形;

AE=5CE=2,求BF的长.

2.解题思路及方法归纳:

在今年中考阅卷中发现学生对于迁移应用中的两个小问解决起来较为轻松,但是拓展延伸的两个小问难倒了很多学生,当然也有部分学生的解法非常新颖,现主要将拓展延伸第1问各种解法及教学建议分享给大家。根据对称,很容易得到FE=FC,但关键是如何证得60°,在阅卷过程中,我们整理了同学们的解法,大致可分为:形题数解,几何变换等思路。

2.1.形题数解

形题数解是数形结合思想的体现,用代数的方法解决几何问题。正如著名的数学家华罗庚先生所说:数与形,本是想倚依,焉能分作两边飞?数少形时难直观,形少数时难入微,数形结合千般好,隔离分家万事休。

思路分析:目标是证出△CEF中有一个角是60°,而已知中有的条件是:菱形、120°、对称,但通过这三个条件如何证出60°的角呢?何不跨出第一步,设一个角为a,根据菱形和对称中边的相等关系和角的相等关系,用a表示出相关的角,最终表示出△CEF中的某个角,若其度数是60°,那么问题得以解决。这种设而不求,形题数解的方法正时我们初中几何的解题关键所在。


思路分析:当我们对于几何提无从下手时,往往可以通过观察图中的基本图形,从而得到相应的有用结论。

2.2.教学建议:

形题数解只是一个桥梁,是要通过代数运算达到解决几何问题的目的。在这个过程中我们还必须辅以其它方法使这一目的得以实现。比如上述解法中的设而不求,基本图形的掌握等。在我们平时教学时,在这方面可以先从大的思路分析(纵观题目),再辅以细节处理(研究性质),同时适当结合解析几何的相关定理,这样可以提高学生的思维品质,同时达到提升学生的解题能力的目的。

几何变换

初等几何变换包括:平移、旋转、对称以及位似(相似)变换。在初等几何,特别是平面直线型几何的相关领域,可以通过几何变换从宏观上得到图形的基本性质,从而有助于对图形整体把握。在解题中,通过几何变换得到解题思路的典型案例举不胜举,此处我们就本题通过几何变换的解法做一些探讨。

(1)解法赏析

对称变换:

思路分析:首先,本题连接BE就是出于对称的考虑。通过连接BE,构造出关于直线BM对称的两个三角形。再运用等量代换等相关方法,巧妙的得到四边形的两个对角和为180°,从而快速得出结论。


思路分析:此种解法主要是运用角平分线的性质得出BG=BH,从而证出全等三角形,成功的证出120°,再利用四边形内角和为360°,得出△CEF中一个角为60°

解法三(利用等腰三角形的对称性质)

思路分析:此种解法中的辅助线是关键,利用图形对称性,连接BE很自然,当发现BE=BC=BA,会得到△ABE是等腰三角形,从而利用等腰三角形的对称性作等腰三角形底边上的高线也较为自然。而且这样做辅助线后出现了有一个角为30°Rt△BGF,拓展延伸的第2问的解决也就非常自然了。

思路分析:这个方法的辅助线也很常见,旋转后得到了题目中给出的顶角为120°的等腰三角形。很明显,这对于拓展延伸的第2问的解决是非常有利的。

2.3.教学建议:

几何变换在最近几年的中考题目中频繁出现,特别是成都中考。从2014年开始把直线型几何的题目作为压轴题放在了试卷的27题(全卷共28个题目),而这几年考察的重点也正是几何变换。所以在几何教学中,我们应先从几何变换的角度让学生整体把握图形的性质,再从几何推理加以细节证明。比如,北师大版八年级下册《平行四边形的性质》一课,我们可以先从旋转变换得到平行四边形是中心对称图形,从而用平行四边形的中心对称性质(整体性)进一步得到边、角、对角线的其它性质(局部)。在初中数学几何教学中,特别是直线型几何教学中我们应不断渗透几何变换思想,让学生具备从几何变换的角度观察图形,从而形成在认识新事物是首先从整体把握事物形态的良好意识,这是我们实现预期教学目标的关键。

3.结语:

几何题的解法正所谓是条条大路通罗马,不管是形题数解,还是用几何变换都可以解决,但笔者认为后者比前者更胜一筹。不管怎样,这需要我们在平时的教学中注意常总结方法、多让学生积累基本模型,分解图形,将未知问题、未见过的图形转化成已学过的知识和常见图形,利用基本的思想和方法来解决相关问题,从而有效提高数学思维品质。

参考文献

1]雅格洛姆:《几何变换-(I)》[M, 哈尔滨工业大学出版社

2马志敏;陈天柱初等几何中的现代数学思想——几何变换》[J],乐山师范学院学报2002-8

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