加强数学思想渗透发展数学思维能力

——对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考

摘要：新一轮课程改革以来，小学数学课堂教学越来越关注数学思想方法的渗透，即将颁布的课程标准修订稿明确了“数学的基本思想”作为“四基”目标之一，进一步明确了数学思想在数学教育中的地位。人教版实验教材新增了“数学广角”的内容，引导教师进一步探索和加强对学生数学思维能力的培养。经过教学实践的检验，“数学广角”还应该从内容选取、呈现方式和教学目标的制定等方而进行修订和完善。

关键词：数学思想；小学数学教材；数学广角；数学思维能力

随着课程改革的深入，小学数学课堂中教师越来越重视数学思想方法的渗透。“授人以鱼，不如授人以渔”，也正说明我们的古人早己认识到了思想方法的重要性。今天的数学教学，要让学生在获得数学知识的同时，了解知识的来龙去脉，掌握解决问题的基本方法，形成基本的数学思想方法。数学知识和技能是学生进一步学习的基础，同时，数学思想方法更是学生思维发展和终身学习的重要基础。本文希望通过比较国内外中小学数学教育课程标准对数学思想的要求，比较国内三套数学实验教材关于数学思想方法的编写情况，结合当前小学数学课堂中有关数学思想方法的教学现状分析，提出人教版小学数学实验教材中“数学广角”修订的几点思考。

一、近年来国内外中小学数学教育对数学思想的认识

(一)国外中小学数学教育对数学思想的认识与要求

美国2000年公布的《学校数学教育的原则和标准》提出:从学前期至十二年级的数学教育应该使所有的学生都能够认识到推理和证明是数学的基础;提出并探讨数学猜想;发展和评价数学推理和证明;选择和运用不同的推理和证明方法。同时，使学生能通过交流、组织和巩固他们的数学思维;分析和评价他人的数学思维和策略等。

新加坡2005年公布的小学数学教学大纲指出:小学阶段要发展学生逻辑地进行演绎推理和归纳推理的能力，通过解决数学问题和进行解释，发展数学思维与推理的技能;能用数学语言交流数学思想，并能精确、简明和逻辑地进行论证;用数学思想作工具进行原创性的工作。日本2008年新修订的《小学数学学习指导要领》中对数学思想的要求有:小学阶段培养学生对日常生活中的事物进行预见性的、有条理的思考及表达的能力;同时，使学生意识到数学活动的乐趣和数学思想方法的优越性，培养学生在生活和学习中积极地活用数学的态度。由上可以看出，各国在中小学数学教育中非常重视数学思想方法的渗透，重视培养学生的数学思维能力，让学生学会“数学地思维”。由强调“问题解决”向更重视“数学地思维”发展，己成为目前国际数学教育界的共识。

(二)国内中小学数学教育对数学思想的认识与发展

1995年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》指出:小学生学习数学，不仅要掌握一定的数学基础知识和基本技能，还要培养思维能力。结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括和逻辑思维能力，适当渗透集合、函数等数学思想和方法。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)指出:教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。帮助学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题……”“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。特别地，即将颁布的数学课程标准修订稿指出:数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方而的不可替代的作用。因此，关于数学课程的总体目标，除了传统的基础知识和基本技能的“双基”目标，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，成为“四基”目标。要求教师在教学中“引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。

由此可见，我国中小学数学教育一直重视渗透数学思想，并且这种重视越来越明确，对数学的基本思想的内涵认识也越来越清晰，对教师的教学也提出了更加明确的要求。

那么，什么是“数学的基本思想”呢?史宁中教授认为:数学思想不仅包括学习数学知识所涉及的思想，比如，等量代换、数形结合、递归、转换等，还包括解数学题所涉及的合并同类项、配方法、换元法等。“基本思想”主要是指演绎和归纳，在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量代换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。这里之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法加以区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终身受益的那种思想方法。叫演绎推理是根据概念、定理等按照规则进行的推理，是一种由一般到特殊的推理。它的主要功能在于验证结论。而归纳推理正好与演绎推理相反，它是一种从特殊到一般的推理，包括枚举、归纳、类比、统计推断、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等。它的主要功能在于发现新的真理。叫传统的中小学数学教育在培养学生的演绎推理能力方而做得很好，但是缺少对归纳推理能力的培养，这也正是目前学生普遍缺乏创新能力的原因之一。因此，即将颁布的课程标准修订稿提出了“四基”的要求，也就是要继续保持传统的“数学双基教学”合理的内核，同时加强“基本思想”的渗透和“基本活动经验”的积累，这样才能更好地培养出具有创新精神和实践能力的人才。在小学阶段，要让学生理解和掌握哪些数学的基本思想，教材中应该采用怎样的方式进行渗透呢?即将颁布的课程标准修订稿给我们指引了明确的方向，那么，在教材修订时如何体现课程标准的这个理念呢?下而先通过对目前正在实验的人教版、北师大版、苏教版三套小学数学教材进行比较，看看现在不同版本的教材在数学思想方法编写内容上有何异同。

二、课标实验教材中数学思想方法的编写比较

实验教材是以《标准》的基本理念和所规定的教学内容为依据编写的。《标准》指出:数学知识是教材编写的一条主线，同时结合数学知识的编排渗透一些重要的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力，进而奠定发展更高素质的基础。

人教版、北师大版、苏教版三套教材都注意结合所学数学知识的编排渗透数学思想方法。一方而，结合具体内容渗透一些重要的数学思想方法，比如:结合数数、比一比的知识渗透集合与对应的思想;结合认识物体和图形以及分类让学生体会分类思想;结合小数乘除法和多边形的而积渗透转化的数学思想;结合简易方程渗透符号化和初步的代数思想;结合圆的而积渗透极限思想;等等。另一方而，在实践活动和综合应用的编排中也让学生初步感受一些数学的思想方法，比如:人教版的“摆一摆想一想”“掷一掷”渗透分类、排列组合思想，“量一量找规律”渗透函数思想，“打电话”渗透优化思想，等等;北师大版的“图形中的规律”渗透找规律、数列思想，“数学与交通”“数学与购物”渗透优化思想，等等;苏教版“球的反弹高度”“大树有多高”渗透函数思想等。

人教版教材从二年级开始单独安排了“数学广角”系统，从而有步骤地向学生渗透一些重要的数学思想方法。下表列出了“数学广角”的具体编排情况。当然，这些内容安排是否恰当，学生能否从中很好地体会数学思想方法，进而发展他们的数学思维，特别是能否实现即将颁布的课程标准修订稿的“四基”目标，还需要教材编写者进一步研究和广大教师课堂教学实践的检验。下而结合案例对当前小学数学课堂中有关“数学广角”的教学现状进行分析，希望能对教材在这方而的修订有所启示。

三、数学思想方法教学的现状分析

《标准》没有把数学思想方法作为一个独立的内容领域，教学中建议教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。在实际教学中，教师们投入很大的热情开展了丰富的课堂教学研究。我们看到在各种教学观摩课和教学比赛中，很多教师选择了“数学广角”作为研究的课题，这也从一个侧而说明教师在课堂上越来越重视数学思想方法的渗透，重视学生数学思维的培养。但同时，由于“数学广角”是实验教材新增的内容，教师们也是在探索中前行，难免会出现一些问题。

目前，“数学广角”教学中一个比较突出的问题是过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。以四年级下册“植树问题”为例。现实生活中和“植树问题”类似的问题很多，因此教材选取植树问题作为代表，通过建立数学模型，探究发现解决植树问题的一般规律，并将发现的规律推广到解决这一类实际问题上。这里重要的是让学生探究发现一条线上植树问题的规律，经历数学建模的过程，体验“化繁为简”的解决问题策略和数学思想方法。但在教学中，教师更加关注的是让学生掌握植树问题三种情形的规律(公式)。我们常常看到课上教师引导得很多，给学生自主探究的时间不够，规律更多的是在教师的层层引导下得出的，虽然学生当时能利用这些规律解决问题，但是时间一长就会忘记。因此，这样的教学只是让学生在解决问题的层而上掌握了具体的方法，但没有很好地体现“数学广角”渗透数学思想的宗旨。

笔者认为，教师应该在提出问题后让学生自己去探索，留给学生充分的思考空间，让他们经历化繁为简的思想、模型的建立，利用直观操作和线段图来发现植树问题的一般规律。这样，学生亲身经历探究的过程，才能体会和理解重要的思想和方法。即便不去记忆结论或者时间长了忘记具体的规律，学生也能利用这种思想方法去研究和探索类似的问题。

总之，“数学广角”不是简单地教学某个具体问题的解题方法，而是借助对这类问题的探究，让学生经历解决问题的过程，渗透基本的数学思想，培养学生的数学素养。

另外一个值得注意的问题是，教学中对“数学广角”内容中蕴涵的数学思想挖掘得不够，没有很好地体现教材的编排意图和教学目标。以五年级下册“找次品”为例。教材以“找次品”为载体，让学生通过观察、猜测、实验等方式感受解决问题策略的多样性，通过归纳推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。在这里蕴涵了逻辑推理、猜想验证、化归等重要思想方法。但在教学中，我们看到更多的是学生被动接受己经被前人证明的最优化的方法，再经过反复的练习加以巩固。这样的教学，学生只记住了找次品的方法，可能还有一部分学生尚未完全掌握这种方法。至于为什么平均分成3份就能最快找出次品，学生没有机会去思考和探索，更谈不上体会其中的数学思想了。如前所述，“数学广角”教学的重点不是让学生记住具体的结论而是让学生经历探索结论的过程，感悟数学思想方法，教师应该明确它的教学要求。因此，这节课应该让学生在实验操作的基础上，通过图示、列表等方式表示探索的过程，在解决问题的多种方案中感受并发现最优的策略，经历归纳推理的过程，再将发现的规律应用到解决找次品问题上。记住结论只能解决找次品这一类问题，而经历探索的过程，是对学生思维能力的培养，是学生终身学习的基础。

当然，通过教学实践，我们也在反思教材编写中需要改进的地方。以六年级上册的“鸡兔同笼”为例。“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中，在我们的现实生活中同样也存在着许多类似“鸡兔同笼”的问题，需要运用数学知识去解决。教材通过让学生尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，感受古题的趣味性，培养逻辑推理能力，同时体会方程解法的一般性。

经过教学实践的检验，我们发现假设法是解决这类问题比较巧妙的方法，但是假设法有它的局限性，并且学生不易理解，学过之后就忘了，最后就只剩下列方程的一般代数解法。这就和“数学广角”的设计思想不符，我们应该考虑什么方法更有一般性，适用范围更广泛，更能体现数学的基本思想。基于这样的思考和教学实践，让学生通过列举的方法进行尝试，在尝试的过程中不断猜测并发现规律，从而优化探索的过程。这种尝试、列举、验证的方法是我们解决很多问题经常采用的方法，是数学中最朴素并且广泛应用的方法，也渗透了最基本的数学思想。因此，经过教学实践的检验，教材也需要作出相应的调整。

四、“数学广角”修订的几点思考

结合前而对数学的“基本思想”的理解、对三套教材的比较研究以及目前小学数学教学实践的反思，为了能更好地体现《标准》帮助学生获得“基本的数学思想”的要求，人教版小学数学教材“数学广角”的修订，应该从内容选取、呈现方式、目标制定等方而进行进一步研究并加以完善。

(一)教材的内容选取

小学阶段的数学思想方法主要有集合、排列组合、等量代换、逻辑推理、运筹优化、转化、数形结合、符号化以及初步的代数思想等。有些是需要结合具体数学知识进行渗透的，有些可以通过“数学广角”来进行渗透。那么，到底“数学广角”需要渗透哪些基本思想，应结合怎样的具体内容进行渗透呢?一方而，通过“数学广角”渗透的思想要考虑那些最为基本的数学思想，而不是一些特殊的数学解题方法。正如史宁中教授所说的“主要是演绎和归纳”，“数学发展所依赖、所依靠的思想本质上有抽象、推理、模型三个”。像符号化、集合就体现了抽象的能力;逻辑推理、等量代换、合情推理等可以培养推理的能力;数学建模思想则可以从模型方而发展学生的数学思维。而列表法、图示法等只能作为一种具体的解题方法，不适合作为“数学广角”的内容。像找规律、排列组合、“鸡兔同笼”等能很好地渗透观察、枚举等归纳推理能力的培养;逻辑推理、抽屉原理则主要是培养学生的演绎推理能力;植树问题既体现了“特殊一一般”的归纳推理，又体现了“一般一特殊”的演绎推理，同时还渗透了数学建模的思想。这些都可以作为“数学广角”的内容载体培养学生的数学思维能力。

另一方而，我们还要考虑小学数学的内容和小学生的认知水平。针对不同年级的学生，结合己有的教学实践经验，分析哪些内容是他们能接受的，哪些内容超出他们的认知水平。例如，植树问题对于四年级学生来说有一定的困难，可以考虑在五年级再涉及;“鸡兔同笼”主要培养学生的归纳推理能力，尝试的方法应该尽早向学生渗透，安排在六年级就低估了学生的能力，而且五年级学过方程以后也会造成一定的干扰，所以应该提前到四年级进行渗透教学。

(二)教材的呈现方式

选取了具体的内容，“数学广角”应该采用怎样的呈现方式呢?教材内容的呈现实际上给教师提供了教学的思路，因此，要结合具体内容分析学生学习探索的过程，展现出探索中蕴涵的数学思想，特别是基本的数学思想。“数学广角”的教学，不仅仅是“问题解决”的教学，我们需要解决具体的问题，但是更重要的是解决问题过程中体现出的思维方法—能够推广到更多问题和一般领域的思维方法。

即将颁布的课程标准修订稿提出的“基本的数学思想”特别强调归纳推理的能力，因为这种归纳推理的能力，正是过去数学教育所忽视的地方。我们知道，演绎推理培养学生的抽象思维，归纳推理培养学生的发散思维。研究表明，儿童时期的思维特别具有发散的特征，因此在小学阶段，我们要重视这种归纳能力的培养和渗透。归纳能力的培养建立在实践的基础上，依赖于经验的积累，要让学生“主动地经历”。也就是说，让学生通过自身的探究、思考、抽象、预测、推理、反思，亲身感悟“归纳”的思想和方法，逐渐积累“归纳”的经验困。因此，教材在呈现方式上要体现实际操作和探索的过程。一方而，要注意呈现学生的实际操作。以植树问题为例，为了让学生在动手实践的基础上，经历发现规律、建立模型的过程，教材要突出呈现学生的实际操作，然后抽象出线段图，借助实际操作的经验和线段图的直观支撑，学生才能更好地探索和发现植树问题中蕴涵的规律。特别是，有了线段图后，学生不必死记硬背解决三种J隋形下植树问题的公式，而是用直观的图示解决所有类似的问题。而且，今后遇到新的类似问题，学生也会主动尝试用这种线段图的直观方法去解决。这样教材就能体现出基本的建立模型的数学思想。另一方而，要注意呈现学生探索的过程。以鸡兔同笼为例，教材要重点突出尝试的策略，同时呈现出学生在尝试过程中不断调整思路，逐步发现一般规律，进而引出假设法的过程。这样学生才能更好地理解假设法，并且作为一种基本思想积累下来。

还要注意的是，“数学广角”配套的练习设计也要体现数学思想的运用，不能仅仅是规律或结论的运用。所以，相同内容的巩固练习和变式练习应该减少，增加一些相同思想的实践应用。

(三)教学目标的制订

有了具体的内容和呈现方式，“数学广角”究竟要向学生渗透什么基本数学思想呢?当然，内容、呈现方式和渗透的数学思想在教材上是融为一体的。但是，从课堂教学的实践反馈来看，很多教师对“数学广角”的教学目标还不清楚，课堂制订的教学目标并没有完全体现教材编写的意图。因此，关于“数学广角”教材的编排意图、在具体内容中渗透的数学思想，以及教学要达到的目标等，应在教师教学用书中有明确的说明。

首先，应总体上对“数学广角”编排的目的进行说明。结合课程标准的解读，让教师从整体上把握“数学广角”在数学教学中的要求和地位。与一般的“问题解决”不同，“数学广角”是要让学生学会“数学地思维”，也就是要渗透基本的数学思想，这些思想可以推广到更大的领域，要让学生能尝试用数学的思维解决所遇到的实际问题。

其次，结合具体内容分析学生的数学知识基础和认知水平，说明解决问题中蕴涵的基本数学思想，特别是具有普遍意义、能广泛应用的思想，绝大多数学生能够接受的思想，例如鸡兔同笼中的尝试、植树问题的线段图和模型思想等，而不仅是只适合这一种问题的思想，更不是解决问题的特殊技巧。

再次，还应加强对教师教学的指导，特别是教学中如何引导学生在探索的过程中体会一般的数学思想。一方而，要让学生经历动手操作的实践体验，建立直观的表象。另一方而，要留给学生充分的独立思考和自主探索的时间，注意多用小组合作探索和讨论交流的活动方式，并让每个学生都能参与其中。因为，数学思想是不可以传递的，只能靠学生自己去感悟。教师的作用就是引导和启发学生思考，归纳和分析学生的思路和结论。

最后，要特别说明的是，数学思想主要是结合具体的数学知识进行渗透，“数学广角”的内容只能作为一种适当的补充，起到增益效果的作用。