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2018年4月刊

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基于“问题解决”理论的《算术平方根》教学设计
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2018/5/15 阅读数:262

基于问题解决理论的《算术平方根》教学设计

:问题解决是数学课堂教学设计的逻辑起点,通过对问题解决理论背景的分析,深度剖析问题解决理论的内涵,解析问题解决理论下实际数学教学设计的思路,以问题解决理论下《算术平方根》的教学设计为实例展开描述。

关键词:问题解决;算术平方根;教学设计

一、问题解决理论概述

(一)问题解决理论的背景

20世纪80年代,美国数学教育界提出问题解决的口号。正式提出于1980年全美数学教师联合会(NCTM)发表了一份指导性文件《行动的议程》,率先正式提出了:必须把问题解决(problem  solving)作为80年代中学数学的核心在解决问题方面的战绩如何,将是衡量数学教育成败的有效标准[1]之后问题解决便成为国际数学教育关注的焦点。我国新课程理念更是将问题解决意识提出在数学课程标准中,著名数学教育家波利亚曾经说过:问题是数学的心脏。可见数学教育中的问题解决已经成为研究的重点,它也是数学教育改革的重点和突破口。

(二)问题解决理论的内涵

问题解决一般是指经过主观因素人为的努力和思考,经过一系列特定有效的方法和程序完成所求解的问题。从数学的角度解释数学问题解决,则是围绕核心问题,根据问题连续体理论,学生解决系列问题,逐步达到课堂目标,解决核心问题,学生对相关概念,数学知识获得更好的理解。

二、问题解决理论下的数学教学设计思路解析

优秀的教学设计需要实现教学设计中各个要素之间的逻辑紧密,以及要与主体学生认知系统和谐和保证有效课堂的功能。传统的教学设计缺乏整合,整体性和完整性不够,经常出现教学内容零碎的现象,学生获取的都是知识碎片,缺乏数学思想方法的渗透,学生只有碎片式的记忆,没有实质的融会贯通。而问题解决下的数学教学设计就是加强对课程内容的整合,问题设置更加具有相关性,问题解决更加具有有效性,学生在主动探究过程中逐步完善自己的认知结构。因此问题解决下的教学设计,它注重数学课程知识的内在逻辑序、教学设计的知识呈现序、学生心理发展序和认知发展序的一致和和谐发展,是知识逻辑认知逻辑教学逻辑学习逻辑的统一。[2]

三、基于问题解决理论的《算术平方根》教学设计

问题解决理论下的教学设计,在进行教学设计之前,需要对教学设计进行分析,其中主要包括前期分析,以及教学目标的设计,前期分析主要分为教材分析学情分析,教材分析是教学设计必要的步骤,教材分析能够明确教学设计主题的来源;学情分析体现素质教育以学生为本的要求,详细的学情分析是成功课堂的基础;数学课堂教学目标的设计是支撑整个教学过程的,指导着教学计划,也是教学设计中的问题的根据,问题并非无中生有,保证有目的有效的问题解决教学设计和课堂效果。

(一)前期分析

1.教材分析

《平方根》是人教版数学教材七年级下册第六章《实数》第一节的内容,属于义务教育课程标准中的数与代数领域,本节内容主要是重点结合实际问题情景了解算术平方根、平方根的概念,会用符号表示算术平方根,平方根,能够利用概念的本质探求算术平方根、平方根的方法,理解算术平方根、平方根的性质。本节共三课时,本课为第一课时,首先从学生熟悉的生活情境引入,抽象到数学问题:已知正方形的面积求正方形的边长,通过情境探究问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过对这一节课的学习,既可以让学生了解算术平方根的概念,会用符号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性,又可以渗透化归思想(将求算术平方根的运算转化为求幂底数的运算)将为学生以后学习平方根奠定基础。

2.学情分析

1)数学学习需要分析

在教学设计中,学习需要是指学习者学习方面当前的状况与被期望达到的状况之间的距离,或者说是学习者已经具备的水平与期望学习者达到的水平之间的差距。[3]将学习需要具体到数学学科的学习需要,即数学学习需要,顾名思义,是指学生在本课题数学学习方面当前的状况与学习完本课题后期望达到的状况之间的距离。进行数学学习需要分析可以为教学设计提供更加有效的资料和依据,因此对于教学之前的学生数学学习需要分析是必要的。在本课题中,把数学学习需要分析分为两类:数学知识学习需要分析,数学能力学习需要分析。

数学知识学习需要分析:教学对象是七年级学生,在学习本章之前,学生已经经历了有理数、整式的加减、一元一次方程等数与代数知识的学习,知道有理数刻画现实问题的局限性,具有乘方有关概念及运算的基础,对加减、乘除运算的互逆关系有了明晰的认识,拥有计算正方形等几何图形面积的技能。本课题属于初中数学中数与代数领域,学习《算术平方根》为数的领域中无理数的学习奠定基础,认识数学中特殊的符号,更加丰富的的知识和数学运算的知识。

数学能力学习需要分析:在前面的学习过程中,积累了自主探究、合作学习的经验,具有一定的观察、分析、归纳、概括能力,具备了一定的合作与交流能力。学习完本课题后进一步提高发现问题和解决问题的能力。

2)学习者分析

教学设计与学习者的特征是否符合具有关键的作用。在这里将学习者分析分为:学生差异分析,学习风格分析。学习者分析在教学设计时可以对学生有更加清楚的分析和认识,选择更加合适的教学策略。学习风格是学生一贯的学习方式,不同的学生具有不同的数学学习风格,通过平时对学生的观察,对每个学生的学习风格必须了解,这样更加有助于教学设计的有效。

学生差异分析:对于七年级学生,刚刚从小学的数学学习过渡到中学数学,学生学习数学的心理会发生变化。通过七年级上学期的一学期的学习,大部分学生已经可以完全适应中学数学的学习,但是学生之间仍然存在差异,包括知识能力和心理方面,因此在本节课的教学中,教师要注意的学生的课堂反应,灵活应变数学课堂的节奏,在学生自主探究的时候,教师要注意观察,给予必要的指导和关心。

(二)教学目标

问题解决式的数学课堂教学,教学目标以问题呈现,教学过程依赖于问题启动,学生的认知过程随着渐次递进的问题启动,所有的问题直接指向学生的认知目标。学生在问题解决的过程中提高问题意识,获得更好的知识技能和情感体验。问题解决能力得到提高,实现更全面的数学素养发展。因此对于算术平方根课题,围绕问题解决,设置以下数学教学目标。

知识与技能:了解算术平方根的概念,了解算术平方根的非负性,理解正数的算术平方根并会用根号表示;了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求正数的算术平方根。

过程与方法:经历探索算术平方根概念和性质的过程中,发展有条理的思考和表达能力;体验算术平方根的探究活动过程中,建立更好的数感和符号感,发展抽象思维;通过拼大正方形的活动,体会解决问题方法的多样性。

情感态度与价值观:通过探究活动学习算术平方根的概念过程中,认识数与人类生活密切的联系,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,为学生以后学习无理数做好准备。体会数学的奇妙,获得成功的体验,建立自信心。

(三)教学过程

数学问题解决的教学设计应该满足以下原则:问题明确性原则,问题可接受性原则,问题启发性原则,问题有效性原则。整个问题解决课堂教学,学生都是自主合作,探究交流,解决问题,调动学生的积极性。具体安排如下:

问题解决教学的《算术平方根》教学设计设置的问题

问题一:学校最近要举行艺术节,其中有一个项目是趣味接力比赛,需要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,请问这个正方形场地的边长为多少米?

设计理念:教学设计中知识的呈现过程,既要考虑知识产生、形成和发展的顺序,又要考虑知识内在的逻辑顺序;学生的认知发展有内在的程序性和关联性,为此,教学设计既要考虑学生的认知基础和认知经验,又要符合学生的认知规律。[4]第一个问题的设计以学生熟悉的校园生活情境拉近与学生的思维距离,同时围绕问题的核心,这里涉及到乘方运算,慢慢学生开始进入问题的起点,使得后面的设计更加连贯。另外通过生活情境引入,提出数学问题即转化为已知正方形面积求正方形边长的过程,体会数学知识的抽象——从实际问题抽象为数学几何问题。

问题二:另一个项目是美术作品比赛,小欧很高兴,因为可以展示她的强项了,他想裁出一块面积为25的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,请问这块正方形画布的边长应取多少分米?

设计理念:问题二的设计起到承上的作用,慢慢架起本节课的问题支架,符合学生的认知规律,创设良好的问题情境与有效的问题解决过程能够活跃学生数学思维。从现实生活中提出数学问题,能够使学生积极主动地投入到数学活动中去,同时为学习算术平方根提供实际背景和生活素材。

问题三:而小明也喜欢画画,但是他需要裁出一块面积为25的画布,请问这块正方形画布的边长应该取多少?说到这里有的同学可能会有疑问,多少的平方应该等于2呢?如果设正方形的边长是x,则根据正方形的面积计算公式2。但是此时我们无法得出x是多少?我们会产生疑问到底有没有意义?是否存在面积为2的正方形?

设计理念:问题三的设计则是起到承上启下的作用,以自然的方式为本节课核心问题的提出和解决埋下伏笔。也就是算术平方根的概念引出。问题3是从学生熟悉的问题过渡到不熟悉的问题,以问题的形式引出本节课将要探究学习的内容,能够激发学生的学习兴趣。

前面三个问题为了《算术平方根》概念的继续探究做了很好的铺垫。

问题四:在刚才的问题1和问题2中,都是已知正方形的面积求正方形的边长,而之前的学习中经常是解决已知正方形的边长求正方形的面积的问题,请问:已知正方形的面积求正方形的边长的运算和已知正方形的边长求正方形的面积的运算,这两种运算有什么关系?

设计理念:问题四属于锦上添花,学生的探究激情慢慢被点燃,此时学生注意力会更加集中进一步探究新知识已知正方形的边长求它的面积与已知正方形的面积求边长的过程是互逆的,教学时让学生初步体会这种互逆的过程,为后面的学习做准备。

问题五:问题三中小明需要面积为2的画布,而小明现在有两块面积为1的正方形画布,所以他想:能不能用两个面积为1的小正方形画布拼成一个面积为2的大正方形画布?同学们课桌上都有两个面积为1的小正方形卡片,动手试一试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形,帮助小明解决问题?

设计理念:通过问题探究活动培养学生动手能力和激发学生学习数学的兴趣,学生通过动手操作,发现问题,经历自己解决问题的过程,小组讨论,合做探究,增添数学课堂的活力。

问题六:如果现在有一个正方形的面积为a,则这个正方形的边长是多少?(可以列式,即x是正数,求x的值。)通过刚刚的问题一、二、三、四探究活动,你可以用自己的语言描述要求我们解决什么一般的数学问题吗?(已知一个正数的平方,然后求这个正数)

设计理念:通过之前的探究活动与一般等式的理解,体会数学知识的抽象——从数学几何问题抽象为代数问题,并为算术平方根概念的引入做好准备。至此,学生通过自己的总结,将算术平方根的概念描述出来,而且通过一个个问题解决探究活动,学生对算术平方根会有更直观的理解。(算术平方根的概念:一般地,如果一个正数的平方等于,那么这个正数叫做的算术平方根。)此时,算术平方根的概念并没有完整,数学学习中符号化非常重要,算术平方根也是代数学习中学生接触的新符号,因此需要继续进行问题解决探究算术平方根的表示法。

问题七:在刚才的问题中,已知面积为2的正方形,求它的边长?设边长为x。边长x是就2的算术平方根,思考:2的算术平方根存在吗?通过前面的探究,是存在的,可是应该如何表示?(教师给出解释回答,应该表示成)是否能够根据拼正方形活动中的图形说出的几何意义?

设计理念:问题七的设置是为了强化算术平方根概念的完整性,算术平方根的概念比较抽象,原因之一就是学生对这个新符号的理解需要过程,通过对数形两方面的解读,帮助学生理解。这符合学生的认知规律。这样学生就可以完整给出算术平方根的概念。(完整概念见附录中详细的教学设计)

算术平方根是数学教学中重要的概念教学,概念教学在新课改中更加强调灵活性,要以学生为本,体现学生的主动探究性。把学生置于各种各样的彼此相互联系的问题解决过程中,从多个角度反复经历概念并运用思维技能从而促进其深刻学习。问题解决理论下的教学设计以核心问题为目标引导,通过进行层次性的数学探究活动解决问题,体现了生成性特点,并且更加具有创造性,使得预设性和生成性达到平衡。

参考文献

[1] 陈文胜.基于问题解决的数学课堂教学设计[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2006(2):81.

[2] 朱德全.数学新课程标准与主题式教学设计[J].课程·教材·教法,2002(12):34.

[3] 乌美娜.教学设计[M].北京:高等教育出版社,1995:56.

[4] 李红婷.基于问题解决的数学教学设计思路[J].中国教育学刊,2006(7):66.

[5] 刘儒德.基于问题学习对教育改革的启示[J].教育研究,2002(2):76.

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