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2020年1月刊

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基于数学三个世界理论的矩阵乘法课堂教学研究
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2020/2/5 阅读数:508

基于数学三个世界理论的矩阵乘法课堂教学研究

摘要:数学三个世界理论是Tall在前人研究的基础上提出的认知发展研究的新成果,该理论认为个体进行数学思考存在三种方式:具体化世界、符号化世界和形式化世界。这对于矩阵乘法教学设计是非常有益的,基于数学三个世界理论的认知发展过程,从概念具体化世界、符号过程概念化世界、公理形式化世界三个方面探索课堂教学,定会带来对线性代数课堂教学模式的新思考。

关键词:数学三个世界;矩阵乘法;课堂教学

线性代数是大学理工科专业和部分文科专业的一门重要的数学基础课程,更是一门非常好的工具课程,其计算技巧和理论在物理、化学、经济、通信等多个领域都有广泛的应用。该课程主要讲了矩阵理论及线性方程组的相关知识,其教学效果直接影响学生在实践中应用数学的能力,这对学生知识结构的完善、综合素质以及创新能力的培养都十分重要。虽然线性代数有着丰富的历史文化内涵,但是现行教材大都是以公理化方法来演绎知识体系的,注重知识的逻辑结构,这种高度的抽象和严密的逻辑体系使大学生在学习线性代数时,感到十分困难,再加上线性代数课时较少,这种现象更加明显,学生甚至对一些基本概念和算理都无法真正理解。例如矩阵的乘法法则,通过一般方法证明矩阵乘法运算的确可行,但那无法解答学生的疑惑。他们真正不理解的是:矩阵乘法法则为什么是这样的,是凑巧,还是由矩阵的某种本质所必然决定等,像这样的问题显然不是单纯的依靠数学证明就能解决,但如果不能获得回答,线性代数对于学生来说就成了一个不讲道理、莫名其妙的规则的集合,他们不是为了理解、掌握、运用而学习,只是被抛入一个强制的世界里为考试学习。

数学中,学习形式化表达是一项基本要求,但过度的形式化只会造成教学中直觉性的丧失,产生冰冷的美丽,所以要强调数学知识的发现过程及本质特征。也就是说学习数学知识的过程,应该和人类认识数学的过程一样,学生只有体会从直观思维到形式化描述的艰难,才能更好的抓住本质,达到对基础知识的深刻理解,自然地到达形式化的数学世界。如何给出符合人类认知发展规律的教学设计,提高课堂教学质量,帮助学生更好的学数学、用数学、体会数学的美妙与和谐,数学三个世界理论为该问题提供了新的视角。数学三个世界理论是由英国华威大学教授Tall2004年以认知主义、建构主义、新皮亚杰主义及认知科学等理论为基础提出的,该理论着眼于学生的认知发展过程,是根据学生的年龄特点,考虑学生的原有经验来组织教学,促进学生对知识的内化过程。

1数学三个世界理论简介

2004年的国际数学教育大会上,英国知名数学教育家David Tall提出了数学三个世界理论,该理论借鉴了认知主义表征概念的方式和建构主义的APOS学习理论,以此为基础,接受认知科学认为认知以联结方式存在的观点和新皮亚杰主义下的SOLO分类理论等相关理论的研究成果。该理论以儿童、中学生、大学生为研究对象,根据学生的年龄特点,考虑学生已有的经验能力,重新划分认知层次,更加合理地解释学生的认知发展过程。

数学三个世界理论中,是指不同的思维发展方式,具体如下:

概念具体化世界:把对客观世界的直觉和活动的反思称为具体化,即以对世界的感知为基础,由对外部世界和精神世界的感知和认识组成,通过反思和使用日益丰富的语言,专注于感官体验,形成对概念的理解,在这个世界中数学学习的对象是具体的、形象的、可见的。

符号过程概念化世界:把通过符号运用实现从操纵数学过程到数学思考的有效转换称为符号化,数学学习对象的符号具有双重内涵:过程性和概念性,其中过程性指在具体化世界中的过程操作,概念性指通过对该操作过程的抽象、概括等活动得到数学对象。

公理形式化世界:把利用形式化定义和证明建立公里体系的过程称为形式化,即以对象性质为基础,通过高度抽象,主要是对符号世界进行自反抽象,发展为形式化定义,有时候需要进一步证明,使之发展为形式化公理。

数学三个世界理论的认知发展顺序:具体化世界源于对自然的感知与活动,对感知的结果在欧式证明中发展其形式化方面;过程概念化世界是对具体的活动和操作,并发展为具有过程和概念双重性的符号操作,再通过代数证明发展到符号的形式化层面;最后,二者都会到达公理、定义和证明的形式化层面。

2基于数学三个世界理论的教学设计

2.1对矩阵乘法教学内容的认识

矩阵的运算是线性代数课程教学中重要的问题之一,而矩阵乘法又是该重要问题中的关键知识点。下面以复旦大学出版社出版的周勇、朱砾主编的《线性代数》(简称复旦版)为例,从教材内容的编排来看,直接给出矩阵与矩阵相乘定义

2.2教学设计过程

数学三个世界理论很好的解释了学生学习中的认知规律,具体化世界里丰富的感性材料有利于学生实践经验的积累,为知识的增长创设良好的环境;符号化世界,用符号概括不同事物间的本质属性,这种抽象的操作让数学从实践上升到理论,为学生理解形式化的数学世界提供帮助;形式化世界里人们能更加简单、严格、系统地认识数学体系,形式化的数学亦有助于逻辑思维的培养。

数学三个世界理论采用联结主义的课堂教学方式,教师作为导师精心安排课堂活动,鼓励学生沿着基本思路,进行小组讨论、交流思想和挑战问题建立对知识的联结进行学习。下面是以矩阵乘法定义教学为例的具体教学设计:

2.2.1概念具体化世界

具体化世界中的个体是通过对外部世界的感知和活动认识事物,所以教学中应从生动的实例出发,从问题解决的角度来组织教学,这种情境的创设有利于学生对相关概念的认知。

2.2.2符号过程概念化世界

过程概念化世界中个体通过符号操作得到概念的符号形式,通过前面实例问题的解决,学生对矩阵乘法的过程已有了直接的感受,接下来鼓励学生在操作和交流中进行理性的分析和探索,运用符号对过程和概念进行转换,从而促进学生对所学知识的认知。

2.2.3公理形式化世界

公理形式化世界中个体通过抽象和证明得到形式化定义。所以教学中需引导学生比较分析两个问题,虽然是两个不同的问题,但是在本质特征、符号表示、数学思想方面有着共通之处。如果推广到一般情形,它们能否统一到同一个数学模型之中呢?也就是说,一般地矩阵与矩阵相乘该如何表示。

学习线性代数不仅为了培养学生的逻辑思维能力和运算能力,更要锻炼学生应用数学的能力,教学中单纯依靠教师传授知识还远不够,应该努力调动学生思考问题的积极性。所以,得到形式化定义之后,教师可以留一些例子帮助学生加深对矩阵的乘法及相关知识的理解

面向工科的线性代数教学,单纯讲解定理的巧妙之处而不联系实际或列举生动的例子是难以让学生真正参与进来的,讲授线性代数的教师大多毕业于数学专业,具有深厚的专业基础理论知识,但由于缺乏工程背景,再加知识面和课时的限制,大多数只是传授课本上的知识点,这种教学形式不能有效地引导学生主动学习,达不到较好的教学效果。所以需要任课老师广泛的联系生活和其他学科相关内容,设置合理的教学情境,教学的过程需要从问题出发而不是直接从定义出发来组织课堂教学,给出问题,再逐步引出概念和方法,由浅入深的让学生掌握知识点并且知道如何运用知识点解决实际问题,这样才能培养学生将实际问题转化为数学模型的能力,拓展他们的学习空间,提高他们的实践能力和创新精神。

总之,讲解线性代数时候应注意运用抽象、模式化和创设问题情境的方式,同时做到能联系实际,逐渐让他们感受线性代数离生活很近,不再枯燥可畏。教师要扩宽知识面,加强交流加深积累,注重理论与实际相结合,探索可行高效的符合学生认知发展过程的课堂教学方法,这不仅顺应高等教育的发展趋势,更有助于应用型人才的培养。

参考文献

[1]周世民.数学三个世界的理论简介[J].数学通报,2012,51(3):32-34.

[2]周世民等.认知发展研究新成果[J].数学教育学报,2013,22(3):8-10.

[3]吴华,崔艳姣.基于数学三个世界的数学概念高效教学[J].数学教育学报2015,24(3):48-50.

[4]周勇,朱砾.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2009,8.

[5]张艳,张朝文.关于矩阵乘法运算的教学探讨[J].现代职业教育,2016(01).

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