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2018年5月刊

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初、高中函数概念的对比研究
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2018/5/28 阅读数:304

初、高中函数概念的对比研究

摘要:初、高中函数定义的“不相符”,给高中函数概念的教学造成了相当大的障碍。本文旨在为二者的交接寻找必要的“媒介点”,为高中函数概念教学提供参考。通过对初、高中函数概念进行具体对比分析,得出结论:学生在初中和高中所学的函数定义只不过是在不同时代背景下,从不同角度对函数所下的定义。二者虽然在文字表述上大相径庭,但在本质和核心思想上是一致的。

关键词函数;函数概念;函数定义

函数是数学中的一个基本概念,也是高中数学的核心内容。对于刚上高中的学生来说,函数概念更是他们进入高中的第一道坎,直接影响着他们对于数学的学习兴趣。虽然经过初中的学习,他们对函数已经有了一定的认识,但是要重新接受一个看似与初中截然不同的函数定义,并不是一件轻松的事。那么,高中数学教学中应该怎样发展学生的函数概念呢?从一线教学来看,我们首先要理清初、高中函数概念的关系。

中学教材在处理函数概念时,把函数概念的学习分为两个阶段,初中阶段和高中阶段。初中采用“变量说”,高中采用“对应说”,这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序,也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性和阶段性。

1初中教材中的函数概念

初中教材(人教版)中采用的是直观、易于理解的“变量说”定义,即“设在一个变化过程中有两个变量,如果对于变化范围内的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,则称的函数,并称为自变量,为因变量。

教材[1]以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景,使学生经历“找出常量和变量、建立函数模型、讨论函数模型、解决实际问题”的过程,体会函数是描述变量之间依赖关系的重要工具,是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。构建函数的一般概念后,学习了函数的三种表示法,包括函数的图象,接着以一次函数(包括正比例函数)、反比例函数、二次函数为具体函数模型,借助图像讨论了这些函数的一些简单性质,继续加深学生对函数概念的理解。

从课标[2]要求来看,只要求学生掌握几类简单的函数,理解它们的定义,知道它们的图象和性质,会用它们的图象和性质解决简单实际问题;认识函数与方程(组)和不等式的联系。但还不涉及抽象符号及定义域、值域的概念(当然初中学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制)。要求认识函数与方程(组)和不等式的联系,但“变量”、“对应关系”等涉及函数本质的内容,要求是初步的。所涉及的都是能用解析式表达的函数,并没有过多地要求学生建立一般意义的函数概念。

2、高中教材中的函数概念

与初中教材类似,高中教材(人教A)函数知识的编排并不是集中于某一块,而是分布在不同学段的教材中,螺旋上升。先以实例为背景构建函数的一般概念,介绍函数的三种表示方法和一般性质,使学生在宏观上了解函数的内容和研究方法,起到先行组织者的作用;然后研究具体函数模型,以具体函数模型为载体,深化对函数概念的理解,经历函数模型的建立过程,体会函数的背景、思想和应用。在选修教材中,还特别引进导数作为工具研究函数性质。从整体结构上看,高中教材对函数知识的编排,与初中教材极其相似,都是“实践-理论-实践”的模式。

单从函数概念的构建来看,高中教材[3]是安排在必修1的第一章第二节(1.2函数及其表示)。本节之前,也就是第一章第一节安排的是集合语言的学习,这就为后面用集合观点给出函数定义打下基础。在建立集合和对应关系的概念之后,引出了函数概念的“对应说”定义,即:设是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系,使对于集合中的任一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,则称对应关系为从集合到集合的一个函数,记做,其中称为自变量,的取值范围称为函数的定义域;与的值相对应的称为函数值,函数值的集合称为函数的值域。

教材在简要回顾初中函数概念的基础上,以三个有真实背景的函数实例为载体,引导学生从集合与对应的观点重新认识函数,从而形成“对应说”的函数定义,用两个数集之间的对应来阐述函数,并首次出现了表示函数的抽象符号接着,通过例题、“思考”、“练习”,从三个层次理解函数概念:函数定义、函数符号、函数三要素,并与初中定义作比较。

高中数学课标[4]对函数概念这一内容的要求是:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域。

3两种函数概念的对比

将初、高中“函数的概念”相关知识点进行比较,可以看到,初中以“运动变化”为出发点定义函数,而高中以“集合”为出发点研究函数。但是学生仍然停留在初中的函数定义上,而在初中阶段函数概念的要求是初步的,在教学中往往浅尝辄止,多数学生对于初中的函数概念并不能说出个所以然来,那么当他们看到一个与之前看似“截然不同”的函数定义,必然难以接受。这是造成高中函数概念教学障碍的主要原因。正如吴延孝[5]在《高中学生数学思维障碍的成因及突破》中所说的那样:“当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时,这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此,如果教师的教学脱离学生的实际或学生在学习高中数学过程中,其新旧数学知识不能顺利“交接”,那么就势必会造成学生对所学知识在认知上的不足及理解上的偏颇,从而在解决具体问题时就会产生思维障碍,影响学生解题能力的提高。”那么,能不能去攻克两种定义的“不相符”,或者说为二者的交接寻找必要的“媒介点”呢?答案是肯定的。

函数概念的定义在不断完善的过程中,主要形成了三种定义,即“变量说”、“对应说”、“关系说”。直到今天,这三种定义仍然在不同书籍、不同学科、不同领域使用着。在初等数学中,“变量说”和“对应说”的定义更是在不同教材、不同读物中频繁使用着,而“关系说”以其高度的抽象性和过于形式化的特点,给理解带来困难,所以在许多国家(包括中国)的中学教材中,都没有采用“关系说”。

“变量说”是从运动变化的观点出发,将自变量的每一个取值与唯一确定的函数对应起来,体现了函数关系生动的直观——变量的运动特征。内容形象、直观、自然,通俗易懂,是一种描述性定义,便于初学者学习理解。但是这种定义是建立在变量(数)的基础上,把函数定义为变量,并没有明确指出函数的本质是对应关系。

“对应说”是从集合与对应的观点出发,将集合中的任一元素与集合中唯一确定的元素对应起来,“集合”和“对应”这两个基本概念上,把函数看作是两个非空数集间的一种对应关系,没有了运动的束缚,全面概括了函数的本质特征。但是这种定义比“变量说”更加形式化、更加抽象。

从函数的上述两种定义来看,虽然在表述上二者差异很大,但是所表达的本质思想是一致的,只不过因为它们的形成年代不同,以致出发的角度不同而已。两种定义的核心实际上都是变量和对应关系,即“对于变量的每一个值,变量都有唯一确定的值与它对应”。“变量说”定义是从运动变化的角度出发,把当做是变化过程中的变量,其中对应关系是将自变量的每一个取值与唯一确定的函数对应起来,是过程性概念;“对应说”定义是从集合与对应的角度出发,把当做是取值于集合中的元素的变量,其中的对应关系是将集合中的任一元素与集合中唯一确定的元素对应起来,除了把函数看做一个“对应”的过程之外,“对应说”定义还增加了函数概念的对象属性,即将函数当做“代表特定对应关系的结构”的数学对象。所以,这两种定义的本质特征是一致的,都是研究变量与变量的依赖关系,发现“对应规律”。

总之,学生在初中和高中所学的函数定义只不过是在不同时代背景下,从不同角度对函数概念所下的定义,它们在本质和核心思想上是一致的。“变量说”最陈旧,但也是最根本、最生动、最直观的,对于初学者更容易接受,所以至今在不少书籍中仍有使用。“对应说”形式化的程度较高,对于把握函数的本质和研究函数的精细性质具有一定优势。了解了这两点,学生就不难理解初、高中函数定义的联系和区别,从而更好地掌握函数这一重要知识体系。

参考文献

[1]义务教育课程标准实验教科书数学,人民教育出版社,2008,3.

[2]全日制义务教育数学课程标准,人民教育出版社,2011:29-31.

[3]普通高中课程标准实验教科书数学1必修A,人民教育出版社,2007,1:15-19.

[4]普通高中数学课程标准(实验),人民教育出版社,2010,7:14.

[5]吴延孝.高中学生数学思维障碍的成因及突破[J].数理化学习(教育理论).2011,(4):11-12.

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