在电梯专业“高等数学”教学中嵌入数学建模的探索

摘要：根据重庆能源职业学院电梯专业高等数学学习的现状，提出在高等数学课堂教学中嵌入数学建模的几个原则，列举了将数学建模思想融入课堂教学的方法，介绍了数学建模融入电梯专业课堂教学的实例。

关键词：数学建模；电梯专业；高等数学；教学实例

1、我院电梯专业高等数学教学现状

高等数学在高职人才培养中为学生拓宽文化基础、增强能力支撑，提供专业工具这三个方面起着不可替代的作用，是我院（除园林、医药、高尔夫之外）其他各个专业的必修公共基础课。目前在我院电梯专业的高等数学教学中，存在以下几点问题：1．教学课时相对不足；2．课程结构相对单一；3．学生基础较差，对数学学习兴趣不浓厚；4．学生学习被动且方法单一；5．教材偏重理论和结构严谨，在专业课中应用较少。

在电梯专业高等数学的教学中嵌入数学建模，是为了使学生能够更好地了解电梯调度，培养出更多的电梯专业人才，适应电梯行业的发展需要。

2、将数学建模思想融入课堂教学的原则

数学类主干课程中数学建模思想的融入是一项复杂的系统工程，不可能一蹴而就，教师在教学时，应遵循以下原则：

（1）相关性原则。应有针对性地选择一些与学生所学专业相关的模型，难度适中，以适应不同程度学生的学习。

（2）趣味性原则。要密切联系教学内容，选择学生感兴趣的模型，使学生在趣味盎然的学习氛围中体会其思想方法和实际应用过程。

（3）实用性原则。从当今社会生产、生活实际中选取具有应用价值的案例，使学生真正体会到数学的科学性和实用性。

（4）保持原有的课程体系基本不变，不追求数学建模内容自成体系。数学建模内容的融入，只针对课程的核心内容和重要概念，保持课程总学时的基本稳定，不应遍地开花。

（5）融入的数学建模内容，要突出数学建模的思想和方法，以培养学生创造性思维能力。讲授时要简明扼要，便于理解，不纠缠于问题的深奥背景。在教学中不断渗透数学建模思想，这样学生在遇到实际问题时，才能自然而然地依据所学的数学建模的思路去考查现有问题，从而培养其科研意识和创造能力。

3、将数学建模思想融入课堂教学的方法

将数学建模思想和方法渗透到高等数学课程中去，就是要疏通数学知识与专业知识的接口，恢复数学与实际的联系，关注并致力于数学的应用，主动服务专业需求、服务应用型人才的培养目标。在实际教学的过程中，具体可以从以下几个方面将数学建模思想和方法渗透到高等数学课程体系中去。

3.1在概念的引入中渗透数学建模思想和方法

大学数学中的数学概念往往比初等数学中的概念要显得更加的抽象。如果在概念的讲解中仅仅就概念讲概念，学生听起来没有什么兴趣，也难于理解。如果能够引入数学建模思想，充分利用现实生活中的常见的数学模型，通过对实际问题的提出、找出解决问题的方法，最后引入数学概念，可以达到一定的效果。如在数列、极限、导数、定积分等概念中都可以引入现实生活中的数学模型，使得概念定义的引入不再那么枯燥无味。

3.2在定理的讲授中渗透数学建模思想和方法

高等数学定理的证明是教学过程中的一大难点。如果在教学的过程中只讲一些纯粹的理论证明，教学效果一般都会很差。高等数学中的许多定理与现实生活的许多特定数学模型是息息相关的。如在Fermat引理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理证明中都可以引入数学相关模型，渗透数学建模思想和方法。

3.3在应用型问题中渗透数学建模思想和方法

在应用的问题中渗透数学建模思想，这样可以把数学知识与生活中的实际问题联系起来。这样不仅能让学生体验数学在实际生活中的重要性，而且能够增强大家的应用意识。如求函数的极（最）值问题：欲做一个容积为300的无盖圆柱形水池，如图已知池底单位造价为侧面单位造价的两倍．问水池的尺寸怎样设计才能使总造价最低？在解答的过程中，设底面半径为r，高为h，侧面单位造价为a。则水池的总造价为，问题归结为求y的最大值。通过这些应用型问题的引入，培养学生应用数学去理解，学生通过解决这些实际问题，既可以提高解决实际问题的能力，又能充分的感受到数学的魅力所在。

3.4在课外作业中渗透数学建模思想和方法

传统的作业方式就是教师讲完课以后，按照本节上课内容从书本上布置相关的计算或证明题。学生往往就是根据教师上课所讲的内容，简单的套用一下或者参考相关的习题集都能把作业完成。为了更好的把所学的知识理论联系实际，教师可特意安排一些开放性的题型让大家分组讨论，最后让学生通过小论文的形式提交作业。如在讲到导数的应用中，可让同学思考平常所喝的饮料瓶子，为什么都是圆柱体的；在讲到零点定理之后，可布置这样的问题：是否可以找到一个适当的位置而将一张凳子的4个脚都着地等这样的开放题型。这样既培养了学生运用所学知识的能力，又能培养学生的协作能力，让学生感觉到数学的巨大潜力。

4、教学实例分析

在教学过程中积极编写教学单元，分专业选取不同的案例，既有助于对教学内容的理解，又使通过对实际问题的不断对比、归纳、思考、领悟，用所学的知识给予解决，从而提高学生解决实际问题的能力。选学生感兴趣的、接触比较多的例题，使学生在趣味盎然的学习氛围中体会到数学建模的思想方法和实际应用过程。我们看下面一个例子。

 

例：某办公大楼有十一层高。办公室都安排在7，8，9，10，11层上。假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公。现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒。每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠。为简单起见，假设早晨8：00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量。电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯。当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。请问：

（1）把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间?

（2）怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少?

（3）请给出一种具体实用的电梯运行方案。

解答：

①为简单起见，现作如下假设：

1.早晨8点以前办公人员已陆续到达最底层。

2.每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层相应的停留时间内（10秒）办公人员能完成出入电梯。其余时间，如电梯开关门的时间则忽略不记。

3.当电梯下降时，没有人员在其中，电梯直接从原目标层回到最底层。

4.电梯是匀速运行的，启动、停止时的加速度忽略不记。

5.当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。

6.电梯只能运送目标层在工作区间内的员工，而不能运送其他员工，即使它已经处在待命状态。

②变量说明

Tk—电梯在一种模式下完成工作的耗时（k=1,…,6)；

a—电梯在底层停顿的时间；

b—电梯在每层（除底层）停靠所需要的时间；

p—电梯运行的最高目标层；

m—各层需要运送的人数；

n—电梯的单位运输能力；

v—电梯的运行速度。

③对问题的枚举式分析

1.先假设只有一台电梯在工作。

情况1：如果在电梯一次运行过程中，每一层的人员均含两名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：T1=30*(20+2*3*10+5*10)=3900秒=65分钟；

情况2：如果在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：T2=∑6*[20+2*3*(n-1)+10]=2340秒=39分钟（n=7,8,9,10,11）；

2.假设三台电梯工作模式完全相同（即A、B、C三台同升同降，同开同关）。那么，在情况1下，T3=3900/3=1300秒=21.67分钟；在情况2下，T4=2340/3=780秒=13分钟。

3.假设A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工。

情况3：假设在电梯A、B一次运行过程中，每一层的人员均含五名，那么，B电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：T5=12*(20+2*3*9+20)=1128秒=18.8分钟。

说明：由于电梯并行，事实上，A在此情况下运行时间为T=12*(20+2*3*7+20)=984秒（16.4分钟），C运行的时间是T=6*(20+2*3*10+10)=540秒（9分钟），这里的T5指的是电梯群在该工作模式下的最长耗时。

情况4：假设在电梯一次运行过程中，B电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：T6=6*[(20+2*3*8+10)+(20+2*3*9+10)]=972秒=16.2分钟。

说明：同样，这是算的B的最大耗时，A、C在此种模式下分别工作828秒（13.8分钟）和540秒（9分钟）。

（4）对问题的总结

用户对电梯运行的满意度包括生理和心理两方面的满意。生理满意一般包括：电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适，在电梯运行途中尽量少的停顿次数。心理满意包括：尽量短的等待时间，尽量短的乘电梯的时间。因此，需要在用户的生理满意和心理满意找到平衡点，得到最佳满意度。而原问题中已经给出了电梯运行的速度，且本例已经忽略了电梯启动、暂停时的加速度，所以只需要关心电梯的运行方案，使用户在底层等待时间尽量少、在乘电梯途中尽量少暂停即符合要求。

在上述第三点中，通过比较，我们可以发现在三台电梯同时运行时，分层停靠综合起来要比层层停靠综合起来节省时间。文献[1]给出了分组停靠节省时间的完整证明。由此可知：当每一组电梯所停的站连在一起时，能够得到最短等待时间，即为最优方案。

 

 

由此我们得到电梯在分组运行过程中将每一层的员工完全运送完毕所需时间的表达：

Tk=m *[a+2v*(p-1)+b*(p-6)]/n；

可以知道，问题（1）“把这些人送到相应办公楼层，要用多少时间”的答案就是第三部分的任意结果。

问题（2）“怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少”的答案是情况2的T4=13分钟或者情况4的T6=16.2分钟。

问题（3）“给出一种具体实用的电梯运行方案”的方案是情况3的方案：A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工，且在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公。

（5）对问题的反思

在求解问题时，本文做了太多的约束，使得问题趋于简单。但实际生活中，不可能在电梯的一趟运行过程中，所有人员都是同一目标层；在某电梯将特定组的人员运送完毕以后，其可以继续协同运送其他层的员工。这也就是为什么本文对第2问存在两个答案的原因。

从严格的按制运行过程中，本题的正确答案确实是13分钟，确实是只要求三台电梯同升同降且电梯里的员工都在同一层办公即可。但如果当层数增加、电梯内人员不在同一层工作、电梯组数也增加时，相应的情况3的方法才是更加可行的。

5、结束语

本文通过对我院电梯专业高等数学教学现状的分析。阐述了将数学建模融入高等数学课程教学的必要性。给出将数学建模思想融入课堂教学的原则和方法，并且给出一个可以融入高等数学课程的数学建模教学单元的例子，以此介绍课堂教学与数学建模相结合的具体实现。

把数学建模思想和方法融入电梯专业数学课堂教学，把一些实际问题或者有强烈实际应用背景的问题代入课堂，可以激发学生的学习兴趣，体会数学的实用价值。培养学生解决实际问题的能力，让学生更加积极主动地学习，同时也是数学教学改革，提高数学教学质量的需要。

参考文献：

[1]薛峰.将数学建模融入高职数学教育的探究[J].西部大开发·中旬，2011（8）：99.

[2]徐建中.数学建模思想和方法在高职数学教学中的渗透[J].长江大学学报：自科版, 2014（4）：119.

[3]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第4版）[M].高等教育出版社，2014：199-203.