APOS 理论分析高中生对数学概念的理解分析

摘要： APOS 理论是近期提出的一种构建主义的新学说，它是由美国教育学家杜宾斯基(Dubinsky)所提出的。在他的理念中，将建立过程分为了四个环节：:Action , Process , Object , Scheme，简称APOS，也就是操作、过程、对象、图式这四个阶段。构建的过程应当包含上述完整的四个阶段。而目前在我国大多学生都可以实现操作和过程阶段，但是极少的学生可以实现对象阶段，也只有部分学生可以实现达到图式阶段。在对象阶段内，学生的认知程度会随着年龄的增加而增长。本文分析了APOS理论的涵义及其理论模式，并结合理论来分析高中生对数学概念的理解。

关键词：APOS 理论；数学概念；理解；阶段

在二十世纪以来，在心理学的研究中，对数学知识的处理和运用能力越来越被引以重视，且在长期的研究和发展中，也已经出现了大量非常有价值的成果。例如由皮亚杰为代表的研究人员建立的儿童智力发展理论；由荷兰研究人员范·希尔（VanHiele）夫妇研究建立的几何学习思维水平理论；由以色列研究人员斯法德（A。 Sfard）研究出的代数思维的基本形式；美国研究人员杜宾斯提出的APOS理论等。它们不可避免的存在一定的缺陷，首先是研究的对象较为局限，通常都集中在幼儿或小学生。其次它利用的数学知识较为浅显和基础，对高等数学的研究较为少见。

从数学教育的研究内容来看，关于代数内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心．

数学概念在数学的教学当中是非常基础和重要的，但是它带有一定的抽象性，并不直观形象，其中这个特点在函数上尤为突出。通常情况下，学生对函数的理解存在一定的困难。许多国内外的研究也表明，函数的概念层次较多，且涉及知识较多，较为抽象，所以函数就成为了在数学教学中难度最高的概念之一。

概念在数学的教学中具有十分基础和重要的地位。因此，教师在教学的过程中，应当注意对引导学生对概念的充分理解和掌握。但目前，大多数老师倾向于在应用中加深学生的理解和掌握，他们认为这样的方式可以更加简单高效。但是，数学的教学中含有一定的隐蔽性，学会套用一种方法解题并不能真正说明对此概念和知识透彻理解和掌握，且习惯了用此种方法学习会导致学生忽略了概念的重要性，不能对数学的内涵灵活把握和运用。针对此种现象，杜宾斯提出了APOS学习理论。在他的理论中，把对概念理解的过程进行详细划分并厘清层次，使理解的过程循序渐渐，且可以为具体的操作提供科学地指导。研究如何科学地理解和运用好APDS理论对数学教学的进一步提高具有非常重要的意义。

1、APOS理论的涵义

1.1数学教学的目的是什么？

概念的学习并不是直接性的，它是通过一定的抽象思维和推理想象而建立的，在理解的过程中需要拥有一定的心智结构。一个人只有拥有了合适的心智结构，才能做到对所学概念的科学透彻掌握。反之，如果一个人无法建立相匹配的心智结构，就不能做到对所学概念的透彻掌握。所以，中学的数学老师应当对建立和提高学生的心智结构引以重视。

1.2 APOS理论的出发点与基本假设

APOS理论的出发点：教学当中的重点应当是改进和提高学生的学习方法和引导方式，不应当是机械地输出一些事实。APOS理论的基本假设：对数学的内涵的理解和思维框架的建立是在不断的学习中摸索来的，在这个过程当中，应当依次经历心理活动（actions）、过程（processes）和对象（object），最终经过整理和综合构建成图式结构（schemas）。

1.3 APOS理论的来源

APOS理论属于构建主义理论的一种，它的主要研究概念的学习过程和方法运用。它主张学生在对概念的学习是有一定层次和顺序的，且此过程是构建的，应当分清层次和顺序。它对数学问题所产生的社会背景尤为重视，并以此为起点并根据不同问题的情况开展不同的活动，使学生在活动和应用中加深对已有知识的掌握，对其概念内涵和整体框架进行深入理解，背景和定义之间是相互贯穿的，在教学的过程中要注重对其进行联系和综合，帮助实现构件数学概念。

2、 APOS理论的理论模型

2.1四阶段模型

在杜宾斯的理论中，对概念的学习也就是建立相应的心智结构的过程，此过程一般包含下述四个阶段：

第一阶段——操作(或活动)（Action）阶段

这个过程就是指学习对象经过一系列的外显性（或记忆性）指令来逐渐在思维上构建一个数学的对象。数学的教学当中，对问题进行操作变换和计算基础是非常基础和重要的。学生在学习的过程中，应当亲身实践，在活动中以不断地运算和处理来一步步修整和完善脑海中的思维框架，如果没有实际的操作和心理的调整，对数学概念的理解将很难实现。

第二阶段——过程(Process)阶段

经过多次的实验操作使学生对此印象较深的时候，就可以转换到“过程(Process)”的心理活动。此时，可以对之前的操作和实验进行“自反”操作，不需要再实施实际操作了。此时还可以对程序进行逆转或重新排序组合等操作。

第三阶段——对象(object)阶段

当学习者可以对此过程进行灵活的转换和处理时，此过程就成为了学习者的一个心理“对象”。这时已经实现了对概念的基本理解和运用，但是也存在一定的不足，这时的理解并没有达到系统、连贯、综合的要求，还需要进一步的努力使其转换到“图式”环节。在此过程中可以对对象进行不同的数学方法进行处理。在有必要的情况下，可以对对象处理的过程进行详细再现。例如，可以把与函数相对应的过程看作一个整体，并使其成为一个“对象”的心理结构，可以实现函数的相关运算，同时还可以以此为基础拓展对函数的应用和理解。例如在面对二面角的理解和学习中，当学生对概念已经拥有了初步的了解和把握后，就需要对如何求解进行学习和探索，但是二面角是较为抽象的，与其他角的概念有所区别，需要在新的活动中再进行研究和概括。因此，“对象”也为概括提供了契机。

第四阶段——图式(scheme)阶段

学习者在对活动、过程、对象和其他相关的内容进行整理、反思的过程中就会探索出新的图式结构，可以创建一种解决问题的新思路。“图式”是由与其相关的活动、过程、对象和一些其他元素共同组成的系统框架。它的存在可以让学习者更好的判断问题与此图式是否相符合，并根据判断做出不同的选择。

良好的函数概念图式：函数就是两个非空集合的一种相互决定的影响的一种关系，在其中的一个集合里任意找一个数值，都可以在另一个集合里找到唯一与之相对应的数值。前一个集合叫做定义域，后一个集合为值域。在函数里，重点是确定哪一个数值，其表示方式和符号和概念并无影响。函数的概念所存在的方式是一种心理图式，这种图式在数学的概念理解中也是至关重要的，它所涉及函数实例、定义、抽象过程、概念的区别和联系等方面．

简而言之，操作就是进行相关的活动和处理操作；“过程”就是对操作的内容进行反思和总结，再使其发展到“对象”阶段，在经过反思、修改、概括最终发展到“概型”阶段。我们从中学数学的角度再次认识到，APOS理论的价值不仅在于它提出了学习的过程是构建的，而且对过程进行了详细描述，对其划分了层次，使其更加清晰。

由以上可以看出， APOS理论对概念理解过程的心智建立过程进行了详细的探究和说明，同时更加透彻的揭示了数学的本质，在数学领域是一项非常有价值的理论。它是数学领域内一种构建主义学习的新模式，也为数学教学提供理论工具。教师在教学过程中，要特别注重“操作阶段”在数学概念学习中的重要性，他为下面的阶段学习提供了生活来源和心理思想动力，而“图是阶段”则是数学学习的高级阶段，能让学生对相关知识有一个宏观的、全面的、系统的把握和理解，进而为下一个数学概念的学习奠定有力的理论基础。

参考文献：

[1] 张奠宙，张广祥．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[2] [美]克莱因．古今数学思想（第一卷）[M]．上海：上海科技出版社，1979．

[3] 李莉．学生学习数学概念的层次分析[J]．数学教育学报，2012，11（3）：12−15．

[4] ED. Dubinshy , Michael A. Mcdonald. . APOS :A Const ructivist Theory of Leaning in Undergradu2 ate. Mathematics. Education. Researcher. [ R/ OL ] .http : www. math. kent . edu2～ edd2 CMIPaper.  pdf .

[5] 曹才翰,章建跃. 数学教育心理学. 北京: 北京。师范大学出版社,1999 ,12.