三角形中的最值和范围问题

摘要：三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起.我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题.这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题.

关键词：正弦定理，余弦定理，三角形最值.

 

一、三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性和结合基本不等式来处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．

例1.在中，角所对的边为.

（1）若成等比，求公比的取值范围；

（2）若成等差，求的取值范围.

解：（1）设公比为，则三边为，由三角形三边的关系得：

.

(2) 由于成等差，即，由余弦定理，

从而，当且仅当时取等号.

于是.

变：若成等比，求的取值范围.  

例2． 已知中，．

（1） 求最小内角的最大值； （2）若是锐角三角形，求三边c的取值范围．

解 （1）由三角形三边关系得第三边c满足解得，故最小内角为 ．

又（当且仅当时等号成立），所以 ，即最小内角的最大值为 ．

（2）因为是锐角三角形，即三个角均为锐角，又因为，所以

，故只需说明为锐角即可．

由 为锐角得 即解得．

点评：在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A为锐角”．

二、三角形中边的最值（范围）问题，主要利用正弦定理结合三角形三边关系决定．

例3．在锐角 中，若，求的取值范围．

解 ：根据正弦定理，而，．

例4.（2011新课标全国卷理科第16题）在中，，，则的最大值为______.

此题主要考查正余弦定理的运用，入口很宽，解法较多，是一道难得的好题，在此只给出三种比较典型的做法.

解法一：利用正弦定理

,,

；

，其中，

故的最大值是

解法二：利用余弦定理

 ，

令 代入得，

整理得：，要使方程有实数解

 即 . 

解法三：由余弦定理得 即 ，

令 

即

于是，其中，

故最大值是.

三、三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，必要时，可考察动点的轨迹，要注意自变量的范围．

例5 （2008江苏）求满足条件的的面积的最大值．

解  设，则 ．

根据面积公式得=，

根据余弦定理得，

代入上式得=，

由三角形三边关系有 解得，

故当时取最大值．

法2.以所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴建立直角坐标系，则

，设，因为，故，化简得：，故到的距离的最大值为，从而

点评： 本题的背景是阿波罗尼斯圆，也可以用海伦公式，其中.

例6.已知的周长为10，，求面积的最大值.

解：由题意，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，去掉长轴上的两顶点.以所在的直线为轴建立坐标系，易知该椭圆的方程为.由此可知当点位于椭圆短轴的顶点时，面积最大，最大值为.

点评：本题也可以用海伦公式解决.

例7.  在中，且．

（1）求角的大小；   （2）若，求的面积的最大值．

解：（1） 

（2）法1：由余弦定理得：，即 ，即，从而，当且仅当时取等号.

法2:由正弦定理得：，从而：，

，因为，故， 

因为，故当时，.

法3：由正弦定理得：，即的外接圆的半径为2.

如图，在半径为2的圆的劣弧上，显然当位于该弧的中点处时面积最大，易求得，从而

.

 

例8. 已知直角三角形的三内角的对边分别为，且不等式恒成立，则实数的最大值是___________．

解：由得，

设直角三角形中为斜边，则，

则

令，则，

因为，，.

所以，令，则，故当时，，实数的最大值是.

例9.已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，求四边形面积的最大值.

解：（1）设的面积分别为， 

由题意

则，      ①

又在，分别用余弦定理有：；

即，     ②

 得：，故当时，四边形面积的最大值为.

点评：有本题可知，当四点共圆时，四边形面积的最大值.一般若，，，，求四边形面积的最大值为，其中.