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2018年5月刊

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三角形中的最值和范围问题
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2018/8/21 阅读数:312

三角形中的最值和范围问题

摘要:三角形中的边与角的最值与取值范围问题,是复习过程中的难点,在高考中考查形式灵活,常常在知识的交汇点处命题,与函数、几何、不等式等知识结合在一起.我们知道三角形只要满足三个条件,那么这个三角形就基本唯一确定了,而少于三个条件时,有些边角周长面积就可以变化,从而就有了求这些量的取值范围问题.这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题,求解主要是充分运用三角形的内角和定理,正余弦定理,面积公式,基本不等式,三角恒等变形,三角函数的图像和性质来进行解题,非常综合,是解三角形中的难点问题.

关键词:正弦定理,余弦定理,三角形最值.

 

一、三角形中角的最值(范围)问题,一般运用余弦定理,通过求该角余弦的范围,根据余弦函数的单调性和结合基本不等式来处理.要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件,尤其要注意锐角三角形的角的关系.

1.在中,角所对的边为.

1)若成等比,求公比的取值范围;

2)若成等差,求的取值范围.

解:(1)设公比为,则三边为,由三角形三边的关系得:

.

(2) 由于成等差,即,由余弦定理,

从而,当且仅当时取等号.

于是.

变:若成等比,求的取值范围.  

2 已知中,

(1) 求最小内角的最大值; 2)若是锐角三角形,求三边c的取值范围

 1)由三角形三边关系得第三边c满足解得,故最小内角为 

(当且仅当时等号成立),所以 ,即最小内角的最大值为 

2)因为是锐角三角形,即个角均为锐角,又因为,所以

,故只需说明为锐角即可.

 为锐角得 解得

点评在锐角三角形中研究问题的时候,一定要注意其三个角都为锐角这个条件.另外要注意变形的等价性,如“内角A为锐角”.

二、三角形中边的最值(范围)问题,主要利用正弦定理结合三角形三边关系决定.

3.在锐角 中,若,求的取值范围.

:根据正弦定理,而

4.2011新课标全国卷理科第16题)在最大值为______.

此题主要正余弦定理的运用,入口很宽解法较多,是一道难得的好题,在此只给出三种比较典型的做法.

法一:利用正弦定理

,,

,其中

的最大值是

解法二:利用余弦定理

 ,

 代入

整理得要使方程有实数解

 即 . 

三:由余弦定理得 即 ,

 

于是,其中

最大值是.

三、三角形中面积的最值(范围)问题,可以角为自变量,也可以边为自变量建立目标函数,必要时,可考察动点的轨迹,要注意自变量的范围.

2008江苏)求满足条件的面积的最大值.

  ,则 .

根据面积公式得=

根据余弦定理得

代入上式得=

由三角形三边关系有 解得

故当取最大值

2.所在的直线为轴,的中垂线所在的直线为轴建立直角坐标系,则

,设,因为,故,化简得:,故的距离的最大值为,从而

点评: 本题的背景是阿波罗尼斯圆,也可以用海伦公式,其中.

6.已知的周长为10,求面积的最大值.

解:由题意,故点的轨迹为以为焦点的椭圆,去掉长轴上的两顶点.所在的直线为轴建立坐标系,易知该椭圆的方程为.由此可知当点位于椭圆短轴的顶点时,面积最大,最大值为.

点评:本题也可以用海伦公式解决.

7.  中,且

1)求角的大小;   2)若,求的面积的最大值.

解:(1) 

2)法1:由余弦定理得:,即 ,即,从而,当且仅当时取等号.

2:由正弦定理得:,从而:

,因为,故 

因为,故当时,.

3由正弦定理得:,即的外接圆的半径为2.

如图,在半径为2的圆的劣弧上,显然当位于该弧的中点处时面积最大,易求得,从而

.

 

8. 已知直角三角形的三内角的对边分别为,且不等式恒成立,则实数的最大值是___________.

解:由得,

直角三角形为斜边,则

,则

因为.

所以,令,则,故当时,,实数的最大值是.

9.已知平面图形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且,求四边形面积的最大值.

解:(1)设的面积分别为, 

由题意

     ①

又在,分别用余弦定理有:

    ②

 得:,故当时,四边形面积的最大值为.

点评:有本题可知,当四点共圆时,四边形面积的最大值.一般若,求四边形面积的最大值为,其中.

 

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