循序渐进认识商的变化规律

实验教材把《商不变的规律》作为单独的一课进行教学，修订后的义务教材把商的变化规律合并成一课进行研究。把被除数、除数改变引起商的变化的三种情况同时出现，增加了学习的难度，如果还要理解被除数和除数同时变化且倍数不同的情况，几乎是不可能完成的任务。现将自己教学中的思考与做法与大家分享，共同探讨。

一、课前慎思

针对教学难度增加的问题，我觉得可以做如下处理：

1. 调动经验

四年级学生虽然抽象思维能力有了一定的发展，但仍然不善于脱离具体情境，进行抽象的数学演算和推理，例如作业中出现的“已知A÷B=16，如果被除数除以4，除数除以2，那么商是多少？”学生很难完成从“A÷B=16”到“（A÷4）÷（B÷2）=8”的推演，但学生可以接受“如果苹果减少很多，而学生只减少一点点，每人分到的苹果个数也会减少”的观点。

所以教学要从学生的生活经验入手，找到商的变化规律在生活中的原型，教学中以常见的数量关系为例：

（1）除数不变，被除数变化。对应的情境是分蛋糕，分蛋糕的人数不变，蛋糕大小发生变化，每个人分到的蛋糕也要相应增加或减少。

（2）被除数不变，除数变化。对应的情境是求上学时间，从家到学校的路程不变，速度变快或变慢，从家到学校所需要的时间反而要减少或增加。

（3）商不变规律。对应的情境是猴子分桃子，4只猴分8个桃，40只猴分80个桃，400只猴分800个桃，桃子和猴子同时增加或减少，每人分到桃子数量不变。

抽象与推理必须在积累了丰富的表象的基础上展开，如果学生能自觉将情境与算式对应起来，发现、理解规律自然水到渠成。

2. 分散难点

一节课同时研究被除数变化引起商的变化、除数变化引起商的变化、被除数和除数同时变化引起商的变化三条规律，学习有难度，可以尝试把它分成两节课。

第一课时探究被除数或除数变化引起商的变化，即只有一个变量的情况，被除数改变时除数不变，除数改变时被除数不变，这样易于学生观察、比较。

第二课时研究被除数和除数同时变化的情况。可以先研究商不变的规律，在商不变规律的基础上适当拓展到被除数和除数乘或除以不同的数的情况。让学生直观感受：两个变量，如果符号相同，则变量累积；如果符号相反，则互相抵消。商不变规律就是符号相反且数值相同，则完全抵消，所以结果不变。 

这样处理既分散了难点，又丰富了学习内容，当学生理解两个变量间的关系后，面对“已知A÷B=16，如果被除数除以4，除数除以2，那么商是多少？”的问题也可以顺利解答。

3. 适当取舍

比较各种有关商的变化规律的教学设计，发现本课的教学目标比较丰富，例如探索、发现规律，渗透函数思想，培养抽象、概括能力，应用规律进行简便计算，相应的习题更是变化无穷，对这些目标我们是否要一视同仁，一步到位呢？

循序渐进，螺旋上升是小学数学教学的重要原则，比例关系、函数思想需要一个逐步加深的过程，不必也不可能一步到位。即使是根据商的变化规律判断商的大小，很多时候也超出了学生的能力范围，此时教师必须主动做出取舍。

例如：根据360÷40=9，直接写出1080÷120的商。

编者的目的显然是利用商不变性质进行问题解决，因为被除数和除数同时乘3，所以商不变。但判断1080÷360的商与判断1080÷120的商本质上并没有区别，这次转化并没有降低难度，那么商不变规律就失去意义。

再比如：用你喜欢的方法计算130÷60。一般情况老师都会要求先划0，再计算。实际这样做反而更麻烦，商的书写位置、余数的书写方法都与学生刚掌握的除数是两位数的除法产生冲突。在学生一种技能没有掌握之前就学习第二种技能，容易造成思维混乱，应该允许一部分同学用普通的方法，等基础扎实、熟练后再考虑应用简便算法。

严格地说，在有余数的除法130÷60=2……10中，2是不完全商，并不适用商不变性质，学生产生质疑与混淆是正常的。学过小数、分数除法，回头再看或许事半功倍。

二、课后反思

学生计算后观察，只能发现被除数越来越大，商也是越来越大，不易发现商与被除数的关联性，更难概括出“除数不变，被除数乘几，商也乘几”的结论。这是学生的思维发展水平决定的。

无论是我们直接把结论告诉学生，还是部分告诉学生让学生补充完整，学生都无法顺利对知识进行同化，混淆和遗忘就无法避免，怎么办？特级老师俞正强老师曾说：教学要回到源头，回到不需要教的地方，让孩子整体地去学，就不会忘记了。商的变化规律源头在哪里？是平均分，学生生活经验足以支撑商的变化规律，所以我设计下面的教学。

1. 从生活到数学

师：妈妈要把一个160克的蛋糕平均分给8个小朋友，每个小朋友可以分到多少蛋糕？如果想每人都多分一点，应该怎么办？

生：买一个大一点的蛋糕！

学生很容易想到，只有蛋糕更大，每人分到的蛋糕才能更多。

分蛋糕是生活，平均分是数学。“蛋糕越大，每人分到的越多”是生活，“被除数越大，商也越大”是数学。通过这个环节，使学生感受蛋糕总量与每个人分到的蛋糕之间存在关联，发现商随着被除数的改变而改变。

2. 从定性到定量

师：如果要让每个人分到40克蛋糕，应该怎么办？为什么？

生：把蛋糕增加到320克。因为每人分到的蛋糕变成原来的2倍，蛋糕也要变成原来的2倍。

“蛋糕越大，每人分到的越多”是一种现象，还不能称为一种规律，这种认识还比较模糊，要通过追问让它变得精确。

此时让学生思考两个算式之间的联系，学生就不会只是发现左边一个个大起来，右边也是一个个大起来，会自然而然地把刚才的任务——每人分到的蛋糕变成原来的2倍——概括进去，使概括越来越数学化，越来越精确。

学生最终发现被除数扩大到原来的2倍，商也扩大到原来的2倍。这样对规律的探索就从定性（一起增加）升华为定量（同时乘2）。

3. 从特殊到一般

经过两次探究，学生对被除数变化引起商的变化有了比较清晰的认识，但仍停留在具体运算阶段，如何从具体操作中发现普遍的规律呢？

师：蛋糕只能扩大2倍吗？如果扩大5倍，每人分到的蛋糕会如何变化？

师：如果蛋糕缩小呢？

被除数	除数	商
×2	不变	×2
×5	不变	×5
÷2	不变	÷2
……	……	……

此时，被除数乘几，除数不变，商也乘几，已是呼之欲出了。

4. 从单一到综合

当学生可以发现并概括被除数变化，引起商的变化的规律后，就可以用同样的方法研究除数变化引起商的变化规律。最后引导学生探索，如果被除数和除数同时变化，商的变化规律。

师：如果蛋糕扩大到原来的2倍，小朋友人数也扩大到原来的2倍，结果会如何？

师：如果蛋糕扩大到原来的2倍，而小朋友人数扩大到原来的4倍，结果会如何？

师：如果蛋糕扩大到原来的2倍，而小朋友人数减少到原来的一半，结果会如何？

被除数	除数	商
×2	×2	不变
×2	×4	÷2
×2	÷2	×4
……	……	……

以上4个层次的教学相互独立又层层递进，围绕同一个目的，用生活经验解释数学原理，然后概括出商的变化规律。

总而言之，商的变化规律是对学生充满挑战的一课，老师只要引导学生从生活经验出发，循序渐进还是可以取得良好的教学效果的。