小学数学思想方法的教学思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标中提出了“四基”，即“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。在“数学思考”的二级目标中进一步强调“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”此外，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在数学学习目标中出现的与“知识技能目标”并列的“过程性目标”，即让学生“经历（感受）、体验（体会）、探索”数学活动，从而更好地体现学生在数学思想、解决问题以及情感态度方面的学习要求。

如何使学生获得有意义的数学学习？如何使学生掌握学习的方法和策略，提高学生的“元认知”水平？要解决这些问题，教师主动学习和掌握“数学思想方法”，自觉提升数学思想方法素养，善于提炼教材中所蕴涵的数学思想方法的因素，有意识地在小学数学教学过程中渗透数学思想方法，并引导小学生应用数学方法解决实际问题是解决上述问题的关键性的因素。

一、数学思想方法属于数学知识的范畴

在数学教学研究中，人们将数学知识划分为“概念性知识”和“方法性知识”。“概念性知识”被定义为“有联系的网络”，是指那些关系丰富的知识，只有它是网络的一个部分才被称为概念性知识，它明确地体现在书本上；“方法性知识”是指一系列的动作系统，它看不见、摸不着、隐藏在书本的知识之间。因此，数学知识可以界定为“数学中的概念、性质、法则、公式、定理、公理以及由其内容反映出来的数学思想和方法”，而数学技能则界定为“按照一定的程序与步骤进行运算、推理、处理数据、画图、绘制图表等”。

显然，小学数学教师的数学知识素养，不仅体现在他所具备的明确性的数学知识上，而且要掌握数学的思维策略，掌握必须的数学思想方法和必要的数学基本技能这些默会性、程序性知识。

把数学思想方法归入数学知识的范畴，反映了当代认知心理学以及哲学对知识内涵及性质研究的最新发展。将数学知识看作是由理论、方法、问题、语言和观念等多种成分所组成的一个多元的有机统一体，将数学知识与其产生的过程作为一个整体来认识，才能反映数学教与学的本质。

二、数学思想方法的意义与分类

当今社会是高度科技化、信息化的社会，数学在科技、经济等领域被广泛应用，因此数学作为广泛应用的技术日益得到重视。另外，数学作为培养人的思维能力的学科，它的地位和作用是不可替代的。数学无论是技术功能还是思维功能，都不仅仅是数学知识和技能在发挥作用，更重要的它的思想方法在发挥作用。数学思想方法是数学的灵魂，数学教师要想切实提高专业素养，提高教学水平，就要深入到数学的“灵魂深处”。

数学思想是人们对数学研究的统一的本质性的认识，是对数学规律的理性认识。数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。数学思想和数学方法既有区别也有着密切联系。数学思想是数学方法的提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性要强一些。

“小学数学思想方法”是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。按研究层次不同可作如下分类：（1）与一般哲学的（包括逻辑的）思想方法相应的数学思想方法：如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；（2）与一般科学思想方法相应的数学思想方法：如试验法、图表法、假设法等；（3）数学中特有的思想方法：如化归法、递推法、列举筛选法、公理化方法、关系映射反演、数形结合等。

三、数学思想方法的教育价值

（一）有利于深刻地认识数学教学内容

数学从其萌芽状态逐步发展到今天这样严密的演绎体系，是几千年来数以万计的数学家共同努力而留给后人的精神财富。学习、研究于运用数学思想方法有利于我们深刻认识与理解数学的内容、方法与意义。因为从数学的各个分支中提炼和总结的数学思想方法，实质上是学习和研究数学的方法与进行数学活动的方法，只有掌握了隐含在知识体系中的思想方法，才能从整体上深刻地理解数学，正确地运用数学。

（二）有利于提高学生的数学素养

数学素质教育包括知识观念层面、创造能力层面、思维品质层面、科学语言层面四方面。简单概括为数学意识、问题解决、逻辑推理、信息交流。掌握数学思想方法能增强学生的数学素质。因为数学知识是有形的，思想方法是潜在的。数学知识离不开数学思想方法。知识面广量大，是无论如何也学不完的，但思想方法是有限的几十种，如能掌握，则终生受用。因此，在数学教学中加强数学思想方法的教学，把过程的数学放在主要位置上，就能充分揭示知识的形成过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的抽象概括过程等，使学生学会正确的思维，促进数学素质的增强与数学能力的发展。

（三）有利于对学生进行美育渗透和辨证唯物主义的启蒙教育

数学美的主要特点是有序性、简明性、对称性和统一性。在数学教学中加强数学思想方法的教学有利于对学生进行美育渗透。如符号化思想就体现了简洁美，综合法与分析法体现了有序美，数形结合的思想体现了统一美等。教师要善于把握数学思想方法中蕴含的美育因素，精心挖掘，相机渗透。

数学思想方法的教学还有利于对学生进行辩证唯物主义启蒙教育。比如，圆面积公式教学中采用“化圆为方”“化曲为直”的极限思想，通过“观察有限分割”“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势想象它们的终极状态，不但使学生掌握了知识，而且进行了“变与不变”“曲与直”“近似与精确”“有限与无限”“量变与质变”等辩证唯物主义启蒙教育。

（四）有利于教师站在更高的理论高度分析和处理教材

在小学教学教材中有两条线：一是数学知识，它明明白白地写在课本里，是有形的；二是数学思想方法，它是渗透在知识体系中的，是潜在的。教师如果掌握了数学思想方法的知识，了解它们在教材中是如何渗透的，就能明确教材为什么这么编写，就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的高度分析教材和处理教材，科学地、灵活地设计教学方法，使学生领悟、把握数学基本思想。

四、数学思想方法的教学措施

（一）潜心研读教材，显化数学思想

小学数学教材中的很多内容都渗透了各种数学思想方法，有些是明显的，有些是隐藏的。如二年级上册第一单元长度单位体现了符号思想，用字母符号表示长度单位是非常明显的；在第四和第六单元表内乘法中体现了函数思想是隐藏的。教师在研读教材、进行教学设计时，要结合每堂课的教学内容体现出不同的思想方法目标，可以在教学过程中用板书加以明确呈现。基于小学生的心理发展特点和数学基本思想方法的内隐性特点，教师在教学过程中应通过多种形式反复出现，促使学生逐步感悟。

（二）悉心演绎课堂，点化数学思想

    对于数学思想的体悟，需要教师的点拨、引领，促使学生深入思考，豁然开朗，从而把握数学的本质与核心。一，在概念的生成处点化。数学概念往往是剥离了生活的感性材料，抽象概括出其数和形的本质特征。如果仅仅局限于告诉学生几个数学概念，那么对于学生数学思想的形成是不利的，甚至是有害的。因此，在教学中，必须让学生充分经历概念是如何从生活现实走向数学现实，实现数学化的过程。譬如《圆的认识》一课，我是这样引导学生利用聚化思维实现数学抽象的。先依次出现几种能形成圆的方法：第一个层次，教师用圆规在黑板上画一个圆，学生在自己的草稿本上画一个圆，比较两者的共同点，知道画圆要先固定一个点，再拉开圆规两脚，最后旋转一周。第二个层次，视频观看在操场上画一个更大的圆。其一是体育老师以自己为中心用灰勺旋转一周画一个圆；其二是固定绳子一端，拉直绳子，旋转一周形成一个圆。追问：如果要画得更大，可以怎么办？再次比较这两种画圆方法的共同点。第三个层次，画出无形的圆。其一是用一根一端系着小球的绳子甩动一周，想一想小球走过的路线是什么；其二是观察时钟上秒针旋转一周针尖留下的痕迹，再将这一层次的画法与前两个层次进行比较。在这三个层次的基础上，聚焦分析：这三种方法都画出了一个圆，他们有什么共同的地方？进而揭示出圆的三个要素：定点、定长、旋转一周。就这样，不断去除圆的非本质属性，直逼知识的核心部分，学生对于圆的认识逐步清晰和深刻。二，在思维的伸展处点化。我以计算树叶的面积为例，谈谈自己的教学。首先，教师放手让学生估计，并追问其方法；其次，引导学生思考树叶面积的范围，即最少是整格的个数，最多是将所有不足一格的都当成整格来计数；再次，研究一般的估计方法，即把所有不满格的都当成半格来计数；最后，思考发现更准确的估计方法，也就是将边长1厘米的正方形划分成更多相等的小正方形。在此基础上，讨论有没有更简洁的估计方法，从而发现轴对称图形的巧妙数法。以往教学，教师大都采用“掐头去尾烧中段”的方法，局限于教学生“把不足一格的都当成半格”的方法来进行估计。而上述教学，学生对于为什么这么估计是清楚的，因为教师引导他们探究了树叶的面积范围（区间思想）；学生对于怎么估计是清楚的，因为他们既知道常规方法，又知道不断细分再估计的方法（不断逼近的极限思想），还知道简化估计的方法。

（三）精心设计作业，内化数学思想

一，设计反思型作业。杜威认为人的思维中最重要的就是反省思维，只有经过深入地反思，人才有可能形成智慧。同样，要使数学思想真正内化为学生的智慧就离不开反思，因而设计反思性作业显得特别有意义。反思性作业，也就是让学生对刚刚学习的内容进行回顾反思，写下自己的得与失、困惑与质疑。譬如在教学了平行四边形面积、三角形面积、梯形面积之后，我便设计了这样的作业：如果用其中一种图形的面积公式概括其他几种，你认为哪种最为合适？学生经过比较之后发现：梯形的面积公式最具有概括性，因为平行四边形可以看成上底和下底相等的梯形，三角形又可以看成上底为0的梯形。有了这样的反思过程，学生对于运动变换的思想有了一定的认识。二，设计实践性作业。数学思想也要在实践中体察和感悟。教师要引导学生走出课本，关注实践，积累活动经验，感悟数学思想。在教学中，我一方面布置学生写数学日记，促使他们用数学的眼睛来观察生活，洞察数学的思想；另一方面，我设计一些富有挑战性的问题，促使学生动手实践，内化数学思想。在学生学习了长方体的体积之后，我设计了这样的实践性作业：测量一个土豆的体积，并思考为什么可以这么做。这是一个富有挑战性的实践性活动，也是转化思想活学活用的体现。

就当前小学数学课堂教学而言，重视基础知识和技能训练的情况相当普遍，教师缺少对数学思想方法渗透的意识和策略，影响学生对数学本质的理解和数学素养的提高。在数学教学中渗透数学思想方法有利于学生形成良好的认知结构，培养学生的思维能力，提高解决问题的能力。学生在学校接受的数学知识，虽然在出校门后会忘掉，然而不管他们从事什么工作，深深铭刻于头脑中的数学思想、方法却能随时随地发挥作用，使他们终生受益。所以，一堂真正具有思想深度的数学课，留给学生的是心灵激荡的数学思考和长久受用的解决问题的数学方法，这是研究与学习数学思想方法的价值之所在。