在弗雷格和罗素看来，所谓数学命题就是逻辑真理;康德则认为数学命题是先天综合判断;直觉主义者布劳威尔主张，所谓的数学无非就是直觉所建构的产物。维氏正是在批判和继承这些理论的基础之上，提出了自己的数学哲学观。

在维氏所留下的2万多页手稿中，至少有三分之一的内容是讨论数学与逻辑的关系、数学与世界的关系。在早期的《战时笔记》和《逻辑哲学论》等著述中，维氏反思和批评了弗雷格和罗素的相关思想，并提出了自己的独特见解。维氏从1930年开始数学基础方面的研究，到1932年，己经写下了大量的评论，其中一些收录在《大打字稿》中;在1937 -1938年间，他又写了大量关于数学本质的评论，这些部分收录在《哲学研究》中。

一般认为，他的数学哲学观有前、中和后期之分。如潘佳妮(C.Panjvani)认为，数学的强证实观点是维氏的早期思想，而在后期维氏又放弃了这一观点。从1929年至1933年是维氏中期思想时期，从1934年至1944年基本上是维氏的后期思想时期。麦克道尔(( J. McDowell)认为，在早期，维氏认为数学命题必须要有确定的意义;而在后期，维氏则认为应该为数学命题提供一个证明，但又不能确定遵循数学规则的正确方法。不管如何构思自己的哲学思想，维氏始终遵循要发展一种整体论的数学哲学。下面将分别讨论维氏早、中和后期的数学哲学思想的具体内容。

1、早期维氏的数学哲学思想

早期维氏支持一种数学的强证实的观点，而在其后期思想中他又放弃了。所谓的强证实观点是说，一个数学命题的意义是由证实的方法所确定的。如果一个数学命题不能被证实，或尚未被确定的话，那么它是没有意义的。严格来说，它甚至不能算作是一个命题。因此，数学命题强证实主义隐含着“数学没有猜想”的思想，无猜想的论题是强证实的结果。

因此，强证实使得早期维氏的数学哲学有了意义。对于数学的性质、对象和任务，维氏在其早期著作中做过一些简略的论述。当时他着重从数学与逻辑密切联系的角度来考察这个问题，认为“数学是一种逻辑方法，，“数学以方程式来表述，逻辑命题是由重言式的世界来显示的”。数学获得其方程式的方法是置换法，方程式表示两个表达式的可置换。他说:‘数学方法的本质特征在于使用方程式，每个数学命题之所以就其本身即可被理解，就是由于这种方法。

考虑维氏在《逻辑哲学论》中所注释的两组命题状态，即命题6.02一6.031和6.2一6.241，强证实这一主题仍处于萌芽阶段。在《逻辑哲学论》中，维氏主要探讨数学命题的地位问题。例如数学命题是必然真理吗?数学命题能否完全通过逻辑得到说明?如果不能，又能对它们进行何种论述?同这个问题结合在一起的还有对于语言与意义、心理学概念及知识概念的长期探索性研究。

在早期，维氏表述了一些非常接近柏拉图实在论的观点。维氏的逻辑空间或可能事态，与柏拉图的“理念世界”这一概念地位相仿。从某种意义上来说，在钧罗辑哲学论》中，维氏的观点也是某种实在论的，即命题都是论述相关事实的;数学命题必须是可证明的:“数学命题是可被证明的，即我们不需要与相关正确的事实进行比较，就可以认识到数学命题本身的正确性。

因此，如果数学命题是可以被证明的，那么这说明数学命题的真理性不是来自于经验，而是数学命题本性使然。在《逻辑哲学论》中，维氏对于数学和逻辑所持的主要观点是:(1)数学和逻辑具有不变性和永恒性，这就如柏拉图的“理念”和康德的“范畴”;(2)数学和逻辑的发现独立于我们对语言的实际使用。数学与逻辑的存在外在于时空。因此，语言在数学和逻辑中的作用是次要的。当然，后期的维氏明显拒斥这样一种理想化形式观。据此，我们可以把数学当作是先验的，或者当作初始数据来建立一个更强的先验数学。同样，在这种意义下，我们可以把数学命题当作是绝对必然的，因为它们无论在什么情况下都是真实的。

维氏明确表示，究其本质，数学和逻辑本身就是自然语言的形而上学基础。一方面，语言必须要符合于逻辑原则;另一方面，语言易于受到环境变化的影响。因此，虽然逻辑与数学都是永真命题，但它们本身不存在于永恒事物之中。

2、中期维氏的数学哲学思想

在1929年至1933年期间，中期的维氏持强有限论观点。中期的维氏认为，没有可以无限扩展的事物集，也没有无限扩展的数学领域;量化无限的数学表达式是没有意义的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)、费马大定理(Fermat's LastTheorem)等，都是没有意义的。正如维氏在《哲学评论》中写道:“目前来看，对数学进行的一般性描述似乎是没有意义的，如果命题不是通过任何有限的结果而成其为真的话，那么这等于说它不通过任何结果而成为真的。因而它不是一个逻辑的结果。

只有在一个给定的算式中，一个数学命题才是有意义的表达式，当且仅当我们可以知道一种适用的、有效的判定过程是我们可以决定的，因为“这里的数学命题只有一种解决方法。命题必然通过其意义来表明，我们应该如何证明这个命题是真实的还是虚假的。只有包含可判定的算术谓词的结果才是有意义的，因为它们是算法可判定的，亦即我们的知识有一种适当的判定过程。但是所谓的无限逻辑的总和或结果并不是有意义的数学命题，它们在算法上不可判定，因此，它们也不是真正有限逻辑的总数或结果。如数学命题就不是一个有限的逻辑结果，因为表达式不能被预设为全部数字。类似地，在量化全称域的情况时，你不能说，因为所有自然数并不是一个有限的概念。因此，维氏认为，我们可以在“所有”和“有”之间形成一种形式良好的原则或规则，这是错误的想法，这个公理或原则是与这个命题相关的，因为我们知道公理与命题的唯一相关方式是了解适合的判定过程。称马上会看到，追问数的对象是没有意义的。尤其是不可能存在无限多的对象‘存在无限多的沙发’=‘在空间里存在无限多的可能沙发’。但一旦对象是一个描绘要素，那么它就是不可能的。”

因此，维氏认为，对所有数的描述不是通过命题来表征的，而是由归纳来表征的。然而，如费马大定理这样一种陈述并不是一个命题或算法，而是对应于归纳的证明:“除了费马规则不起作用的数字以外，P以一种规则穷尽了全体数的序列。这一定律对实数起决定作用吗?数F要利用螺线……而且按照这种原则来选择这一螺线的圈数。但是这一原则却不属于螺线。己经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。

因此，中期维氏写道:“正如布劳威尔所言，的真或假也存在不可判定性的情况，这意味着(劝……是外延性的，我们可以说在所有，中，恰巧有一种属性。但事实上，讨论这种情况是不可能的，即在所有的算法中，(劝不能是外延性的。”

维氏认为，命题的不可判定性预设了双方之间存在一个隐式的连接，这是不能用符号来进行连接的。符号之间己经存在的连接也不能由符号的转换来表征，因为符号是一种思维的产物，其本身不能被思考。如果真有这种连接的话……必须能够看出这种连接。维氏强调，算法的可判定性在于，我们可以主张任何事物可以在实践中得到检验，因为这是一个检验可能性问题。如果一个表达式是不可判定的，那么它既不是真的也不是假的。在一些实际演算中，如果一种表达式不可判定的话，那么它就不是一个有意义的数学命题，因为每种数学命题必须属于一个数学演算式。

3、后期维氏的数学哲学思想

在后期，维氏对于数学的性质、对象和任务等问题做了更为深入的研究和更多的论述。他承认数学不是一个有严格界定的概念，但他仍然力求对数学的性质、对象和方法提出一些明确的看法。简言之，他认为数学是知识的一个分支，是各种各样证明技巧的混合体;数学这种活动不是发现，而是发明;数学的研究对象并非数字，而是数学;数学的任务是提供一些用以进行描述的框架。

后期维氏彻底否定了部分早期的观点，即他不认可在哲学研究中数学与逻辑的重要作用，同时他否定了逻辑的至高无上的地位，否认把哲学的全部任务看成逻辑分析这种观点。维氏认为:“哲学的任务不是借助于数学或者逻辑发现来解决矛盾，而是让我们弄清楚那种令我们感到困惑的各种状况，即弄清楚在矛盾解决之前的那种事态。同时，哲学也让数学保持现状，任何数学的发现也不能推进哲学。并且在我们看来，归根到底‘数理逻辑的主要问题与其他问题一样，只不过是一个数学问题。”

当然，后期维氏的最终目的，是想测试在研究哲学时理想逻辑概念的界限。他批判这种把形式逻辑作为阐释明晰性的首要目标的观点，也批判把逻辑作为语言运作的基本模式，同时还批判了把逻辑作为解释哲学问题的关键工具，这些观点与早期的逻辑原子论明显是背道而驰的。在数学的对象上，后期维氏的观点与古典实在论或数学柏拉图主义者的观点是截然相反的。在维氏看来，所谓的数学并不具有实在，而只是一种语义上的约定，这种语义约定是人们在相互交往的日常生活中建构起来的，而且也是人们通过相关训练、生活实践而习得的。因此，哲学家们应当以这种语义约定为出发点，来考察数学哲学问题，从而去理解数学家的研究成果。

根据古典实在论的观点，数学的对象早己先验地、观念性地自存着，而数学家们的任务就是去发现这种先验存在的公式、公理、定理等并证明它们的存在。与这种古典实在论观点相左，维氏认为，数学家们的任务不是发现早己存在的数学对象，而是去发明某些数学规则，发明某些计算技巧，甚至发明某种新的数学。维氏在《关于数学基础的演讲》《哲学研究》《哲学语法》及《论数学的基础》等著作中，都对“数学客观性”这一观点进行了反驳。他明确提出，“数学家是发明者而不是发现者。数学是各种思想创造的，概念方法形成的和证明技巧所掺和而成的一种大杂烩”。他反复强调“数学是发明，而不是发现……数学完全像任何一门学科一样，必须被发明出来。

与早期十分强调数学和逻辑在哲学研究中的重要作用所不同，后期维氏则彻底抛弃了这种观点，他认为数学中的任何发现都不能推动哲学的进步。因为数理逻辑的主要问题是数学问题，数学问题就像其他问题一样，是与哲学问题无关的。因此，维氏才说，哲学的任务不是借助于数学或者数理逻辑的发现去解决矛盾，而是使我们看清楚那种使我们感到困惑的状况。他在评论数学的基础时也强调说，我们所需要的是描述，而不是说明。数学证明并不是一种理解活动，而是一种决定行动。

综上所述，维氏数学哲学思想的合理之处在于他坚持数学证明和发明的创造性，认为数学证明和发明是一种遵循规则的实践活动。数学证明过程需要诸多方面的参与，既要讲解证明过程，又得理解证明过程，等等。所以从通常意义上来说，数学证明本质上其实就是一种社会活动(生活形式)，它不可能是私人语言的，因为数学证明的过程需要参与者的认可和接受。