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2018年10月刊

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数学抽象的培养途径
信息来源:《数学大世界》杂志社官方网站 发表时间: 2018/12/24 阅读数:113

根据数学抽象的心理发展过程,我们可以在三个环节中采取合适的方法,加强其对数学抽象能力的培养。

1注重概念教学

在概念教学中,教师往往由于时间的限制,通常只对概念做简单的介绍和必要的说明,最后用大量的时间对概念进行应用并希望在此过程中使学生能加深对概念的理解。然而,按照这样的概念教学模式,学生对概念的理解往往局限于初步了解和应用,对学生抽象概括能力方面的培养收效甚微。数学概念能反映事物最本质的属性,而概念的形成正是高度抽象和概括的过程,对概念的理解过程正是对这种抽象概括内容的剖析过程。在教学中,教师需启发和引导学生体验对事物属性经过抽象概括提炼成概念的过程,每个问题应符合学生的最近发展区,从而使学生在对新知识的探索过程中容易和已有知识相联系,从而正确认识数学对象的本质。一种比较有效的做法是在概念教学中,教师首先应该鼓励学生自主学习,在对概念有初步了解后,再通过教师提问和小组讨论的形式引导学生对概念中的要点做一定的思辨。教师可以鼓励学生用自己的理解和语言复述概念,然后教师可以通过一定的习题和小组展示巩固学习成果。从这样类似于翻转课堂的学习过程中培养学生抽象概括能力的做法往往更加科学而有效。

2注重知识间的联系

新课改以来,虽然数学学科的各个模块相对独立,但相互之间还是有一定联系的。一方面,教师在数学教学过程中要善于抓住一个章节以及不同章节、不同模块的知识点间的联系,让学生感知它们之间的本质特征,通过寻找知识间的联系来提升数学抽象能力;另一方面,教师也应该培养学生的自主总结能力,从总结规律的过程中锻炼其数学抽象能力。

首先,在每节课或者一个章节学习完毕后,教师可以引导学生对所学内容进行总结和概括。可以用画思维导图寻找本章知识的发展与联系的方法,也可以通过知识点和思想方法的归纳对本章知识进行总结的方法。这种概括不但是对所学知识的复习和巩固,而且从中能督促学生对所学知识进行提炼,以锻炼学生的抽象概括能力。

其次,教师在讲授概念时也可以联系以前所学的相关内容引导学生进行类比推理,从中锻炼学生的数学抽象能力。比如,可以进行平面几何的性质与立体几何的性质之间的类比、等差数列与等比数列之间的类比、计数原理中分类和分步的类比等。这样的学习方式不仅能提高学生的学习兴趣、提升学生的数学学习质量,还能给学生提供锻炼数学抽象概括能力的途径。

最后,教师可以引导学生通过一些实例挖掘和总结其中的规律,从而得到结论。比如,在学习三角函数的诱导公式时,教师可以先示范终边落在第一象限的角的三角函数值和与之关于纵轴对称的终边所对应角的三角函数值之间的关系得出“公式二”,然后让学生找出其他几种对称关系并得出其他几个公式,最后将公式放在一起引导学生进行对比,启发学生从中归纳出“奇变偶不变,符号看象限”的结论。

3在应用中提升数学抽象概括能力

数学知识的魅力在于应用。在应用中,一方面帮助学生巩固对知识本身的认知;另一方面,可以锻炼学生综合应用能力和培养学生的学科素养。在实践中,学生需要将新问题、新情境与已学知识相联系,将实际问题抽象成数学模型然后加以解决。在这个过程中,学生的抽象概括能力能得到充分锻炼。教师可以通过以下三种方式创设应用情境。

3.1变式练习

变式练习是指教师在学生原有认知的基础上,对所认知内容进行一定的改变,让学生进行重新认识,从中检验、巩固和锻炼学生的认知水平。对于概念,教师可以改变概念中的部分关键词,让学生进行辨析,从而理解概念中的每个关键词的作用;对于题目,教师可以改变其中的部分条件,使学生在相似的情景下认清题意的本质,从而选择合适的模型进行解答。在教学过程中,教师可以通过一题多解,引导学生从不同思路、不同角度认识问题,将同一问题抽象为不同模型,也可以在多题一解中培养学生的归纳和概括的能力。

3.2探究性问题

探究性问题,也即探索性问题和开放性问题,是新课改背景下的常见考察方式之一。这种问题的解决需要对所给出的问题进行观察、想象、类比和猜测,最后进行检验。这种解决问题的过程与抽象概括的过程很类似,因此,探索性问题的解决能有效地训练学生的思维,培养学生的抽象概括能力。比如,在双曲线外一点,过该点的直线与双曲线有几个交点?解决这个问题,就需要学生观察点的位置来想象通过的直线有哪些情形。这个过程在抛物线中有类似情境,学生可以类比尝试得出结论,最后结合双曲线的性质进行检验。

3.3数学建模

区别于一般意义上的数学建模,这里所说的数学建模可以从两个角度进行认识。一是从题目中总结数学解题模型,为同类型题目的解答提供通用模型。这要求学生在解决多个题目后从实践中总结出通用的步骤和方法,从而形成模型。在模型的应用中,要注意模型中哪些内容是核心的,哪些条件是可以改变的。二是将生活中遇到的实际问题抽象成数学模型的数学建模。学生根据自己的兴趣,根据自身所处环境,从实际生活中选择研究对象进行问题提炼,并加以解决。这就是将生活实际问题进行抽象的过程。在研究和解决问题的过程中,需要将实际问题转化为数学模型,这就是数学抽象的实践应用。学生根据抽象模型利用相关数学知识解决问题,其中,既可能渗透数学学科多个模块的知识,也可能涉及跨学科的知识。这就能极大地培养学生的创新精神和探究意识,也是一种培养学生抽象概括能力的有效策略。

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