1、反思之一:“学习数学化原则”到底想说什么?

1.1什么是数学化?

学习数学化原则来源于Freudenthal提出的“数学化原则”.中认为数学化的定义是:数学化，就是学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题；实际上，这一定义也许没有很好体现Freudenthal的原意，或者说并不能全面地解释数学化的真实涵义，反而容易引起歧义，让人以为数学的实质就是解决问题.

其实，Freudenthal所说的数学化(mathematization)是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化(符号化)、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程.这里的“现实性((reality)”是指真实世界((real-world)和数学世界(math-word)的总和，而不是望文生义简单地理解为真实世界(现实世界).公理化(axiomatization)是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程.形式化(formalization)是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程”而关于图式化，Freudenthal在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的:“人们早已习惯于把经历和行为不范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候;因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构.

建模(modeling)是数学化的一个方面，在Freudenthal的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理.

数学化被分成两种:一种是水平数学化(horizontal math-ematization)，这种数学化的过程是从背景中识别数学一图式化一形式化一寻找关系和规律一识别木质一对应到已知的数学模型(现实的，经验的).因此，水平数学化过程就是从“生活世界”到“符号世界”的转化过程.另一种数学化是垂直数学化(vertical mathematization):是水平数学化后的数学化，是从低层数学到高层数学的数学化.因此，垂直数学化是指在符号世界里、符号的生成、重塑和被使用.

1.2什么是数学化的学习?

写道:“当我们面对一个情境，如果是一个小学生，必须会区分该情境究竟是“加法”问题，还是“减法”问题;一个中学生则要看得出这是方程问题呢，还是函数问题?也许它是一个概率问题，或者可以归结为一个几何问题.接着，还要判断这个问题是否有解，如何解，解答是否符合实际，不断调整和反思.这种数学化的学习，和单纯记忆“知识点”，背诵题型，搞题海战术的教学是不同的”然而，两者有何不同，这就是数学化的学习?

根据前面的讨论，我们认为，数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化(符号化)、图式化、建模，以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.

1.3数学建模与数学化是什么关系?数学化能力是什么?

认为:数学化与数学建模有密切关系，但并没有给出“密切关系”的内容.而根据上文的分析，可以知道数学建模已经作为数学化的一种形式，而不只是“密切关系”的问题.而且，既然数学建模是数学化的一种形式，则建模的过程也应当有水平数学化和垂直数学化的内容.

认为:“数学化能力是由数学的抽象、形式化的语言特征决定的一种特殊能力.用数学解决实际问题，首先就是要将实际问题转化为用数学语言描述的数学模式”我们认为:数学化能力包括水平数学化能力和垂直数学化能力，数学建模能力是这两种能力的综合体现.

2、反思之二:什么是适度形式化原则?

对数学的形式化的说明是:数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化’，三个层面.这与Freuden-thal的定义相差太远，上文已解释形式化是指用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.

第2.适度形式化原则”部分，第1段讲了形式化的作用;第3,4,5段全部讲的是符号化的问题，在最后一段讲了形式化不能走极端问题，也就是说，数学教学应该追求符号的理解而不能只会演算操作.所以，这一条原则应该是理解符号的原则.另外，通篇没有谈到如何“适度”的问题?缺乏实践操作性，一线教师难以落实!

3、反思之三:什么是问题驱动原则?

在第86页"3.问题驱动部分”，第1段讲了问题的重要性;第2段:“作为对照，语文教学则更多以阅读为基础，用情意驱动，体会表达思想感情的方式方法，借以抒发自己的内心感受，并达到与别人进行交流的目的;历史教学，则是以历史事实的叙述和评论为线索展开，最终形成正确的历史观.至于物理、化学、生物等学科、虽然也要揭不大自然的奥秘，解答许许多多的问题，但是它们多半从自然现象和实验结果出发，以物质运动的各种形态的研究为依归.以上学科中虽然也有许多问题，但是不能以“问题驱动”为原则进行教学.”这里如此肯定地认为其他学科不能以“问题驱动”为原则进行教学似乎证据不足.因为问题驱动学习((PBL)是一种以专业领域内的各种问题为学习起点，以问题为核心规划学习内容，让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法.退一万步，其它学科不是以“问题驱动”为原则也说明不了数学教学就要有这一原则.

中国的数学教学一直都是用大量的问题来驱动的，不是吗?一讲很多数学题，做很多数学作业题，练很多复习题，当今大行其道的学案中不就是一题!题!!题川一直以来“解题教学”是我国数学教学的传统，其优点自然不必重复，但当今它已经退化为了“为应试而教”.我们的解题教学中的问题范围太窄.其实，数学问题可以分成三大类别:纯正的数学问题;真实的实际问题;数学应用题(我们把它叫做部分理想化的实际问题).我们的解题教学层次不高，为考试而讲题、练题，非常缺乏问题解决教学!

4、反思之四:渗透数学思想方法原则的内容是什么?

这一条原则讲了“在数学教学中注意内容的彼此关联，努力渗透并提炼数学思想方法，是我们应当努力运用的原则.”但在“第五节数学思想方法的教学”中，却是思想少，方法多!中国的数学教育十分热衷于解法研究，教学现状是重解题方法，轻数学思想.一题多解大行其道就是明证.数学思想的内涵外延等基础研究仍然十分薄弱，缺少可行性，因为至今尚米解决核心问题:到底在中学数学中应该渗透哪些数学思想?因此，这条原则的落实仟重道远!!