普及与提高的平衡

——基于义务教育平面几何课程价值研究

摘要：普及的数学教育要求降低数学知识的难度，但是要更加突出数学知识基础性的核心教育价值，从而在普及教育命题下，达成提高的目的。在新一轮数学课程改革的前期，对于平面几何课程设计，没有处理好普及与提高的关系，为了普及而栖牲了提高，损伤了平面几何知识培养理性思维的核心教育价值，将平面几何变成一门以实验性为基础的经验学科，如此造成了开发义务教育数学课程资源的混乱，2011年课程标准对此做了相当程度的改进，起到了正本清源的作用。

关键词：普及教育；提高教育；平面几何；课程设计

中图分类号：G623.5  文献标识码：A  DOI：10.3969/j.issn.1005-1058.2019.09.011

与2001年制定的《全日制义务教育数学课程标准(实验)》(简称《实验稿》)相比，2011年《义务教育数学课程标准(2011年版)》(简称“新课标”)中，对平面几何定理九处提出了“探索与证明”的要求，而对于其他内容减少了近十个知识点。^[1-2]这传递给我们的信息是：经过十年数学课程改革探索，在激烈的争鸣中，对平面几何课程资源的认识得到了回归，人们开始意识到平面几何教育价值重在体现公理化思想的资源，这是实验几何或测量(计算)几何无法比拟的，它其实肩负着培养学生理性思维的使命；必须设法通过降其量、增其质，采用精简合一的方式，整合进入义务教育课程的平面几何资源。

1、平面几何课程设计须思考教育价值的核心要素(特别是针对中国传统文化背景)

近现代以来，为什么早期新文化运动的先驱特别强调数学?主要是为了使他们极力倡导与引进的科学精神与民主精神能够从此扎根中国，并获得发展的群体智力的支持。当今之时，中华民族的伟大复兴，中国梦的完满实现，也必定要像西方文艺复兴一样，首要的任务就是通过教育培养理性思维，弘扬理性精神，使其支撑科学、技术的发展，实现人尽其才，从而获得物尽其用的途径。依据平面几何的特点—在图形直观支持下的逻辑思维，它的推理论证知识是这一年龄段学生最为优质的课程资源。

就义务教育阶段学生的思维方式、思维品质而言，初中阶段是人的以自我为中心的主观意识转化到探究客观世界的各种因果关系形成客观意识的关节点，也是各项思维品质分化的关键时期，在这一时期中，能否经由教育促进理性启蒙，科学启蒙，是形成奠基其一生思维模式、发现意识，理性精神、科学精神与求真精神等内在品质的基石。理性精神恰恰是我们中国长期优势古典文化(据知名的哲学家、儒学大师牟宗三先生的研究，在中国传统上占主导地位的儒文化中，开不出理性精神^[3])中所缺乏的。对此，数学义务教育的选材、编制、教授等方式就显得极其重要，应该将培养理性精神放在一个更加突出的位置上。

对于平面几何知识，改革争论的焦点在于，以何种形式(实验几何、测量几何还是推理几何)进入义务课程，或者是这几种形式的几何学所占比例份额分配如何，再或者是这几种几何形式如何依据学生的心理环境整合成一个稳定的结构。这会对学生的基础知识的奠基与思维方式的养成起着不同的作用，产生不同的结果，是决定平面几何知识教育价值发挥程度的先决条件要素。

众所周知，自然科学发展到后期，差不多是按照欧式几何结构构成的，自然科学要把已经发现的真理性材料结合成几个互相独立的公理，将它们演绎起来，形成一种体系，经过这一体系，可以借助于已经掌握的确定的知识，探求还有哪些具有不确定因素的未知材料，从而变未知为已知，形成新知识。平面几何以其至精至简的方式从直观上展示了这种思想方式的要点，因此，平面几何公理化体系对科学的人门与深造具有基础性的(示范)作用。

但要特别注意的是，科学真理的标准是以感官所得的原始实在性，即是以用其在物理实在性中的实用性程度来衡量的；而数学真理的标准是以没有逻辑上(尽管这种逻辑性的起始处—公理或定义—具有经验性，除此之外，都具有严格的逻辑要求)的矛盾，制约此种创造性形式之规律的普遍性，新形式与原先形式之间的血源联系来衡量的。如此，形成的数学文化规范中的至关重要的因素乃理性思维，数学思维方式中的最具价值的要素是以公理化思想支持的理性探索精神。平面几何知识教育价值的最为突出之处就是由此帮助十二三岁的受教育者形成公理系统的言必有据的思维方式，感受理性探索精神。

然而，《实验稿》的处理，虽然拥有平面几何如此优质资源，却没有充分发挥它的育人价值，它更重视学生平面几何的经验性，而忽视了理性探索精神，逻辑思维(理性思维的基石)没有得到应有的训练。这是因为在设计平面几何课程时，更多地依据了衡量科学真理的早期标准，而是忽视数学真理的标准。事实上，这不是数学教育家有意为之，而是为了解决平面几何的“推理难教”与(普及性、大众化)义务教育的重要理念“人人能学”之间产生了矛盾的结果。

为什么要普及义务教育?普及的重要口的就在于提高全体受教育者(未来的公民)的素质，这是中华民族伟大复兴，实现中国梦，所需要的智力资源的根本保证。如何造就高素质的人是教育的本质要义，这不证自明，它的重要性无以复加。要实现中华民族伟大复兴，不要只考虑知识是否有现实中的好处(实用性一面)，或应用中的方便(如考试是否容易出题等)，这些太表面化了，没有考虑到滋养学生的意识结构、思维方式、发现真理的途径、以此生成创新动力的基础要求。教育毕竟是整个社会文化取向的事情，推动全体公民的素质提升的事情，它需要特别重视学生良好的思维方式的发生与发展，优秀心理特质的萌发与形成。

一方面，为什么数学教育在整个基础教育中负有如此重大的分量?例如，在我国教育的现阶段，数学教育贯穿了一个人所受基础教育的自始至终的过程。另一方面，随着现代计算工具(如计算机等)的发展，还有必要设置数学课程吗(从实用性上来说，许多实用性的计算工作不都可以用机器代劳了吗)?这不是一个简单的现象性问题，而是一个严肃的问题，是一个整体结构性的问题，是人的素质的内在诉求，是整个社会(中华民族)的科技水平高低的决定性基础(数学教育应完善学生思维结构、深化认识的层次)，是保证科学进步人的智力的基础，是国家与国家之间竟争的智力凭依，否则，中华民族凭什么可以屹立于世界民族之林?凭什么可以实现伟大复兴?

毫无疑问，整个社会对数学科学的理解实际上是依靠基础教育(经由教师教学)来承担的，但是，义务教育普通中小学教师的理论水平与独立思考能力可能达不到如此高度，他们需要教育家与数学课程专家的引领。不管学生成人后做什么，是极其普通的各行各业的劳动者，还是政治家、思想家、科学家、军事家，对他们来说，这一阶段的平面几何学的教育都会收获巨大，主要是他们形成了理性思维方式，获得了探究新信息的思维骨架，即使所学的具体知识的相关细节完全忘却了，那种思考问题的方式或原则却依然始终在他们的思想深处指引其进行各种各样的探究活动。

诚如怀特海所言：“教育的理想，与其说是知识，不如说是力量，教学的任务在于把一个孩子的知识转变成一个成人的力量。”^[4]由什么来作为这种转换的承载物，实用性的知识只是极其低层次的载体，它的价值充其量只是促人发展的一种中介而已，教育的重要性在于借助于这一知识中介发展学生的最为深刻的思维方式(理性思维是其核心要素)，对于十二三岁的正在接受义务教育的学生而言，平面几何逻辑推理的知识正是其最为合适的资源，它的重要性由此可见一斑。

因为人的数学天赋可能有差异，不同的人对数学能够接受与领悟的程度也可能有差异，以人为本就是以人在其拥有的特定天赋的基础上获得相应相称的发展为本，并不在于要学多深的东西，发展要强调人的际遇、人的机会，取决于成人对受教育者塑造起来的文化氛围(这是数学课程设计者可以控制的因素，与设计课程专家理念相关)，因此，我们要通过数学教育将人类最为优质的思维方式植人学生的理智之中。

教育在于供给学生一种发展的基石(学生构建起他们终身起作用的思维骨架)，讲究的是知识的质，而非知识的量，知识的数量与质量均有价值，但是，人的素质却一定为更有质量的知识所塑造。因为我们的传统优势文化缺乏理性精神，对处于义务教育的初中阶段的学生来说，平面几何知识作为理性思维资源的教育价值无可替代。

赫钦斯说：“逻辑是按照专门化的语形的一种陈述，在这种情况下，推理是严格论证的。如果普通教育是为了明智的行动而训练心灵的话，逻辑是不能遗漏的，它是人的心智理解自然的重要力量。逻辑是推理学科的一个关键性的分支。不过还要加上一门以最明确和最严格的形式阐明推理的学科。这门学科理所当然要由数学来承担，而在数学学科中主要的是那些欧几里得公理化的几何学用以解说的方式。思维的正确性通过欧式几何进行教学也许比任何别的方式更为直接，更为使人印象深刻。^[5]这对接受义务教育初中阶段的学生来说，尤其重要，因为他们部分人将要离开学校，就有可能再也没有正式训练自己的逻辑论证能力的机会了。

因此，就义务教育初中阶段而言，平面几何要少一些内容，但要选择最好的内容—自始至终贯穿着最严密证明的内容。当然要考虑学生的可接受性与差异性，可以选择比较容易的但却使学生足以体会公理化方法的平面几何知识。“新课标”较好地体现了这种课程设计思想。

我们知道，几何学的美，就在于它证明的层次，就在于它有那存在于一切事物中清晰而合乎理性的某种东西。因此，那直线、圆(最简单优美的曲线)就能给受教育者以普遍的事物的教训。一个儿童，只为他理解有困难，就断定他懂不了几何推理论证知识与探究证明的方法，那绝不是真实的；相反，理解有困难，正是必须耐心地领着他们进门的信号。泰勒斯或欧几里得等古希腊先哲也绝不懂某物的全部几何学；但是他们所懂的，就是懂得深刻，懂得透彻。

平面几何知识最突出的特征就是进行逻辑论证，它不仅能证明命题的正确性，获得推理环节与次序的知识，而且能使人避免思想混乱，避免似是而非，还能使人揭示客观事物的本质与规律，形成逻辑地表达思想、整理科学体系的方法。几何推理论证可以使人凡事都问个“为什么”，而这正是一个人的发现与创新的基础之所在，也是一个人的科学思维人门的特征。平面几何追求的是一种理性精神，由于它的推理奠基于图形的直观，在从古到今所形成的教育资源中，还没有一门学科资源能比它更好地培养十二三岁的学生的理性精神。

2、平面几何课程设计须强调实现普及与提高的平衡(特别是针对普及的、大众的数学义务教育理念)

在义务教育阶段的课程设计中，作为课程资源的平面几何知识，须特别重视普及性的要求，因为西学东渐后，发挥平面几何教育资源功能长期处于高水平的要求(探究命题证明思路的过程非常难)之下，即便是过去，在偏向于精英的教育中，受教育者也感到具有不可承受之重，逞论对于今天的普及的、大众的义务教育的受教育者。但是，通过审视新一轮的十数年数学基础教育教学改革实践，发现也的确出现了重大问题，在考虑平面几何知识进入课程时，过多降低了命题证明的要求(如三角形内角和定理都不要求证明了)，从一个极端走向了另一个极端，如此也极大地损伤了平面几何知识资源最优秀的精华部分—促成学生体验“必然”的观念，将数学降格为实验科学，抹杀了平面几何推理知识资源作为范例的最为深沉的教育价值。

回顾一下项武义先生批评美国当代数学教育的事实，可能对我们理解这种处理平面几何教育内容的缺陷有帮助。他说：“在美国吃数学教育饭的一些人，他们的数学，说老实话，实在是难以恭维。正统武功不行就想走邪门歪道，简直犹如让中国青年回到山顶洞人去，然后再来一步步发现。”项先生进一步指出，“在人类漫长的历史中，人类之所以有进步，是因为不但有超群的脑力，而且有文字，懂得世代相承，精益求精。基础数学是文明中的瑰宝，我们的教育要让后一代人承前启后，并能继往开来。万万不能倒退到从山顶洞人开始做发现工作。那怎么行呢?^[6]就是说，数学知识的价值(尤其是教育价值)不是蕴藏于直接经验之中，而更倾向于蕴含于间接经验中。

义务数学教育是大众的数学教育，具有普及教育的内涵，必然要求数学教育面向每一个作为社会的未来公民，同时，教育口标必须要作出适应这种要求的转变。数学课程就既不能为少数“精英”所设计，又不能仅仅为数学而数学，应当置于更加基础的位置上—要确定数学更为基本的教育价值，要精简数学内容以体现与承载这种基本的价值，以此达到具有能赋人性于人的高度，同时，要悉心研究合适的教育途径。由于学生受思维水平的限制，受教学时间的局限，受授业方式的影响，使得大众命题下的数学教育不可能是严格意义上数学科学的教育，而只能说是数学文化的教育，但又必须体现数学文化的精华与基本规范。

数学教育的价值与其说是数学知识的积累，不如说是培养数学思维习惯、数学观念，最终促成受教育者形成数学的思维方式。大众的、素质的数学教育作为新型的教育价值观，就这种意义上说，数学教育是普及的，把数学作为一种文化的教育。所以，重视数学教育中的文化观念是素质教育的基本内涵和要求。如此，数学题材的范围扩展了，内容丰富了，这是符合数学教育的口的，是全面贯彻数学教育适合社会大众的需要：数学知识的直接应用，数学文化对提高人们思维水平的间接作用等。但是，不能偏废，在我们的文化背景中，数学教育尤其要设法体现数学文化理性思维的核心价值(也是数学文化的最为突出的规范)。

普及的、大众的数学教育的着眼点就是要放在使数学教育适应多数学生的智力发展状况的上面，要克服学术主义(在培养的口标上只重视学者型人才的作法)的倾向；普及的、大众的数学教育强调数学应为大众所理解、所掌握、所利用，使得数学成为公民适应社会生活并借此促进社会发展的有力武器；普及的、大众的数学教育不是要求数学的高难度，而是要求应用数学知识解决实际问题的数学思维方法为一般公民所掌握，使得数学成为大众文化的一个部分；普及的、大众的数学教育应充分体现数学的教育功能，即不仅重视数学的思维发展功能，更要重视对社会公民的世界观、行为方式、道德规范的培养，因为数学思维不单单是弄懂数量关系、空间形式，而且是一种研究事物和现象的方法，是一种推理的方式，是发现真理的一种非常重要的手段，也是磨砺意志、包含辩证法及其应用的一门学科。

然而，普及工作和提高工作是不能截然分开的。普及工作若是永远停留在一种较低的水平上，这就有可能使本来可以获得较好数学发展的学生失去发展的动力，逼迫他们趋向于较低的数学教育口标，普及工作更不能丢弃作为文化的数学教育的核心价值—理性精神的教育口标，否则这样的普及数学教育还有什么意义呢?受教育者及其家长、更重要的是我们的社会(中华民族)要求普及数学教育，跟着也就要求提高数学教育的水平。而这种提高，不是从空中提高，不是关门提高，而是在普及的基础上提高。这种提高，为普及所决定，同时又给予普及的方向，给普及以指导。所以我们的提高，是在普及基础上的提高；我们的普及，是在提高指导下的普及。[7]有了普及的基础，便有了提高的平台，有了提高的平台，又为更高层次的普及提供了新的基础，使普及与提高形成良性螺旋上升。

我们知道，数学发展到今天，数学家正在研究的纯数学(乃至于某些应用数学)都已经很难为普通的公民所理解，这些数学也不是他们所必需的。那么，怎样在普及的基础上提高呢?我们应该从更为积极的态度出发，把一些未来社会公民所必需的数学思想方法、数学意识和数学观念(比如说，对义务教育阶段学生的理性思维)等尽快大众化，使它们变得相对地易于理解，以便不久的将来，我们的中学生能够更容易地学习它、掌握它，使得数学思想方法大众化，并使其在数学课程的设计中充分体现，从而实现普及后的提高与在提高后的基础上的普及。

由此，我们得承认，普及的确是一种口的，但却是低层次的口的，它更倾向于是一种手段。说它是一种口的，因为要保证作为社会的公民，必须具有数学公理化的思维方式思考问题。事实上，我们生活中基本的道德准则就是通过公理的形式要求青少年掌握的，它不加证明，却可以作为学生成长中的道德知识的基础，不过我们很难将它组织成像平面几何知识类似的公理化、系统化的结构。具有应用证据说话的能力，奠基整个社会运行的公正性，保证作为民主社会的每一个公民应有的素质水平。说它是手段，指的是普及提供了提高的平台，通过普及可以保证数学学术的自身发展，及其奠基于此的科学技术的发展，否则，何谈中华民族的伟大复兴!

我国的数学教育历史久远，但一直是注重实用性，从而把数学当成一种技术与技能的教育，一种“匠”的意识，结果是在数学的故乡却失去了生机。近现代时期，我们的数学没有融人世界的主流。在巨著《古今数学思想》的序言中，克莱因说：“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的、日本的与玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响。”^[8]从普及与提高关系的观点出发，我们就不应仅仅把平面几何的教育局限在经验性的普及的基础之上，而是将其看作是一种文化规范，一定要有合理的提高的一个层面，不能忽视推理的要求，它承载着培养理性思维的神圣使命。

3、结语

在我们研究“新课标”的平面几何知识进入义务教育课程时，要特别考量平面几何推理论证的思维方式的教育价值及其实现的过程，要认真地思考如何提升进入课程的平面几何知识的质量，以弥补减少其数量的损失，我们要做的是对平面几何知识精中求简的工作。这是一个重大的课题，项武义先生已经作了专门的思考。^[9]发现这是在设计平面几何课程的大方向上提供了选择的取向，但还远远不够，还必须在平面几何课程设计的实践上进行更加深人的研究。

我们知道，在古希腊时期，欧式几何是那些高级知识分子们在柏拉图学园中所要学习的教材，现在我们要求正在接受义务教育的初中学生懂得平面几何推理论证的知识，这对学生来讲定会带来困难，所以在设计数学课程、选择平面几何知识资源时，课程设计者要想办法对此更深刻、更返璞归真地理解，教师将其教得简朴精到、从更精深的层面突出最为基本的平面几何知识内涵的思维方式的价值，务必能够把它精简合一—增其质、降其量—达成在普及的基础上提高，在提高的指导下普及的口的，从而实现普及与提高的平衡。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育邵.义务教育数学课程标准：实验稿[S].北京：北京师范大学出版社，2001：16-17,23-25.

[2]中华人民共和国教育邵.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社，2011：31-36.

[3]牟宗三.中国哲学十九讲[M].上海：上海古籍出版社，2005：102-103.

[4]怀特海.教育的目的[C].王承绪，译//华东师范大学教育系，杭州大学教育系.现代西方资产阶级教育思想流派论著选.北京：人民教育出版社，1980：135.

[5]赫钦斯.美国高等教育[C].赵祥麟，译//华东师范大学教育系，杭州大学教育系.现代西方资产阶级教育思想流派论著选.北京：人民教育出版社，1980：210.

[6] [9] 2005年中国数学会教育工作委员会扩大会议实录[J]数学通报，2005,44(4)：3,2-5.

[7]毛泽东.在延安文艺座谈会上的讲话[C]//毛泽东选集：第三卷.北京：人民出版社，1991：862

[8]克莱因.古今数学思想[M].张理京，张锦炎，译.上海：上海科学技术出版社，1979： V .