数学实验工具：助力初中生数学学习的应然选择

在20世纪初，数学的研究和教育存在着一种脱离社会文化的孤立主义倾向，人们错误地认为数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会文化的推动，其真理性无须实践的检验。这种倾向一直影响着今天的中国数学教育:数学教学内容过度的形式化，重结果轻过程；数学教学方式过度的离身性，倾向身心二元论，忽视操作和体验；数学教学目标过度的应试化，重解题能力的提升，轻数学素养的培育。初中生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，上述倾向导致初中生畏惧数学，不愿意学习数学，初中数学难教、难学。

数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动川，数学实验工具的开发是开展数学实验的关键和瓶颈。数学实验工具可以改变学生学习的数学知识形态，改善学生的数学学习方式，促进学生素养的全而发展，克服上述数学教育的孤立主义倾向，是助力初中生数学学习的应然选择。

1、借助工具，改变数学知识呈现形态

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。知识形态有两种:感性知识和理性知识，数学实验工具的开发应用，目的就是让数学教学内容的呈现符合初中生的年龄和心理特征，化理性知识为感性知识，从而让学生感到数学可亲可近，产生想学数学的欲望。

1.1化抽象为直观

从小学进入初中后，学生的数学学业成绩开始逐步出现两极分化现象，部分学生在知识掌握上出现严重脱节，甚至失去数学学习的信心。这是因为数学学科的抽象性强，学好这一学科需要学习者具备一定的直接经验的基础。小学数学学习内容与学生生活非常接近，小学数学教学重视利用丰富的教学具帮助学生开展数学学习，进入初中后随着学习内容的抽象程度越来越高，现成的可以直接利用的工具越来越少，部分学生在数学学习中难以理解抽象的数学概念和原理，数学学习产生困难。

学生在校学习的知识多是间接经验，但间接经验的掌握必须以学生自身的直接经验为支撑，数学知识更需要化抽象为直观。针对初中生数学学习两极分化的难题，新课程强调数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，而直接经验的获得则依赖于学生的操作实验等外在活动，数学实验工具则能够为学生提供操作探索的素材，从而将抽象的数学知识转化为形象直观的数学知识，为间接经验的获取提供直接经验。基于初中生的年龄特点和思维特征，当前为初中生开发更多的数学实验工具就成为一项非常迫切的需求。

1.2化结果为过程

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的呈现方式，“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一旦问题解决了，呈现的程序便颠倒过来，使得火热的思考变成冰冷的美丽。”张奠宙教授曾将数学知识的形态分为学术形态和教育形态，许多书本上呈现的数学知识便是逻辑严密的学术形态，呈现出冰冷的美丽，让学生望而生畏。现在的任务就是把它们重新颠倒过来，使它们以学生容易接受的教育形态呈现出来，即将冰冷的美丽变成火热的思考。

借助工具让学生动手操作、动脑思考，自主探索数学知识，从而经历知识的形成过程叫，这样的数学学习，学生掌握的知识便是教育形态的知识，它变结果性知识为过程性知识，其中既有事实性知识，更有策略性知识，既掌握了基础知识和基本技能，更获得了基本思想和基本活动经验。

1.3化静态为动态

人们的数学观的演变经历了由静态的、绝对主义数学观到动态的、可误主义数学观的发展过程。所谓动态的数学观，是把数学看作处于动态发展过程中的知识，因而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程。动态的数学观认为数学不是绝对真理的堆积，数学是在证伪与证实的交替中，螺旋向前发展的。数学教学应是由不确定知识到确定知识的渐进过程。

数学实验工具为学生通过动手动脑“做”数学来进行数学学习活动提供了可能。借助工具的数学学习体现了结果性知识与过程性知识的统一，学生在教师的引导下，亲身经历一个概念、规则的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果；借助工具的数学学习体现了操作与思维的统一，学生从可视化的数学内容入手，通过动手操作、动脑思考，逐步对直观的知识进行抽象、推理，最后获得数学结论；借助工具的数学学习体现了实验与论证的统一，学生先通过动手操作获得数学猜想，再通过严谨的演绎推理对猜想进行论证；借助工具的数学学习体现了证伪与证实的统一，在探寻结论的过程中，证伪起着非常重要的作用，在确定结论的时候，证实又发挥着决定性的作用。

2、借助工具，改善学生数学学习方式

课程改革倡导学生的学习方式应由被动接受式学习向主动探究式学习的转变，强调“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。借助实验工具动手操作、动脑思考，在“做数学”的过程中学习数学，符合学生的认知规律，改善了学生的数学学习方式，有助于激发学生学好数学的信心。

2.1变被动接受为主动探究

皮亚杰的发生认识论认为，认识的心理发生既不是来自先天的遗传，也不是来自后天的环境，而是来自主体的行动。无独有偶，美国学者、学习专家爱德加·戴尔提出了著名的学习金字塔理论，以量化的形式直观显示知识学习的规律:知识再现呈现金字塔型规律，讲授、阅读、视听结合、演示、小组讨论、实验操作、快速应用并向他人讲授这七种学习方式中，两周后知识的保持率依次递增，即讲授法的知识再现效果最差，而实验操作和快速应用并向他人讲授的效果最好。这七种学习方式逐步从个人学习、被动学习向团队学习、主动学习转化，学习者的主体参与性越来越强。

借助工具实验操作的数学学习，学生既动脑又动手，手脑并用，内外互动，这里不是教师将知识直接展现给学生，让学生无条件地接受，而是让学生在“做数学”的过程中主动探究发现知识。学生的数学学习变被动接受为主动探究，因为是学生主动学习得来的知识，学生理解透彻、印象深刻，学习效果好，从而促进学习效率的提高。

2.2变统一化学习为个性化学习

学生在成长发展的过程中，表现出各不相同的个体差异。认知方式上，既有适应数学传统的思辨学习方式的场独立型，也有弱于思辨学习方式的场依存型；智力类型上，美国教育心理学家加德纳提出的多元智力理论认为，人的智力由数理逻辑智力、空间智力、语言智力、音乐智力、身体动觉智力、人际关系智力、自我调节智力、观察自然智力等因素构成，传统的数学学习主要局限于数理逻辑智力、空间智力、语言智力三个方而，忽视了身体动觉智力对学生数学学习的至关重要的作用；感知觉类型上，学生接受信息的方式主要有视觉型、听觉型、动觉型以及各种不同的组合，在主要依靠视听的前提下，不同的人对不同的感觉器官和感知通道有不同的偏爱，传统的数学教学方式下动觉型学生的数学学习潜力不能得到充分发挥；性别差异上，通常表现为男生的数学学习优于女生，这与男女生的生理和心理上的性别特征有关。

美国当代教育家布卢姆曾指出“教育应是选择适合儿童的教育，而不是选择适合教育的儿童。”学生的个体差异是客观存在的，数学教学应致力于实现义务教育阶段的培养目标，而向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。传统的教学方式强调步调一致的数学学习，不能照顾各种不同认知方式、智力类型、感知觉类型和性别的学生。而数学实验工具的使用，则为场依存型学生提供了必要的外界环境刺激，能充分发挥身体动觉智力对学生数学学习的作用，能充分调动各种感官满足动觉型学生的学习需要，也顺应女生在感知、思维、记忆和解决问题上的特殊性，注重感性形象、细节把握，弥补她们在理性思维、整体认知、动手操作等方而的不足，使她们在数学学习中能与男生并驾齐驱。借助工具让学生动手操作、动脑思考，在“做数学”的过程中学习数学，满足了各种不同类型学生的需要，使学生的个性化学习成为可能。

2.3变“离身”思辨为具身体验

传统认知理论坚持身心二元论的立场和观点，认为学习过程仅是在大脑内进行的，有人称这种学习为“脖子以上的学习”或“离身”思辨型学习。随着研究的深入，心理学家们正日益关注人的身体运动参与其中的“具身认知”的研究，认为人的身体在认知的过程中起到了非常关键的作用，认知是包括大脑在内的身体的认知，认知是通过身体的体验及其行为活动方式而形成。换句话说，身体运动参与的认知和情感活动，决定其活动的性质和成效，如人在忘情吟诗时就会出现浑然不觉地随诗歌韵律而摇头晃脑。

传统的身心二元论主导下的教学方式是将纯粹理性的知识传授给学生，只启动了学生的大脑，人们往往将知识视作一种客观存在，且不依赖学习主体的不同而接受效果不同，知识是客观的(不以人的意志为转移)、确定的(不会变化或比较稳定)、间接的(是别人发现或发明出来的，自己不参与原初创造)、现成的(由别人准备好的)。借助工具的实验操作性学习从具身体验性出发，在信息的输出输入和存储过程中，突出并延长体验环节，通过学习者的感受、觉知及“做中学”等不同的方式，将传统的视听课堂转变为操作性的体验过程，将“脖子以上的学习”发展迁移为全身心融合的学习。因此，借助工具让学生身体运动参与其中的实验操作性学习发挥其独特的心理功能，提高了数学学习成效。

2.4变“半脑”学习为全脑学习

人的大脑分左右两半球，左半球主要侧重于逻辑推理和语言表达，右半球主要侧重于空间和形象思维，脑科学研究表明，右脑功能的开发和利用，对协调整个大脑、促进思维的广度和灵活}h}有非常大的帮助川。传统的数学学习方式过于偏重逻辑、系统、抽象和理性，较多地使用大脑的左半球，有人称之为“半脑”学习，导致右脑功能较强的“右脑人”难以在数学学习上有突出表现，数学成绩相对较差。借助工具通过触觉、空间知觉、归纳、类比等直觉思维和具体形象思维及动作记忆等认知活动，能使大脑右半球功能充分发挥，将右半球的直觉与左半球的理性有效融合，激活全脑思维。

人的大脑皮层负责高级的认知和情绪情感活动，它由额叶、顶叶、枕叶和颗叶四个区域组成，分别有着不同的功能:颗叶以听觉功能为主，枕叶以视觉功能为主，顶叶以身体感觉功能为主，额叶以躯体运动功能为主，除上述感觉区和运动区以外，还有起联络、综合作用的皮层联合区川。传统的数学学习较多地利用了枕叶和颗叶的视听功能，借助工具让学生实验操作，则充分发挥了顶叶与额叶的驱体感觉与驱体运动功能，实验操作过程中多感官的协同作用又使皮层联合区的功能得到唤醒与激发。这就使大脑皮层各个部位各个区域的功能充分发挥，从而大大提高学习的成效。

3、利用工具:促进学生素养的全而发展

我国数学教育目标有一个演变的过程，建国后五六十年代是追求双基，八九十年代是培养能力，新世纪初课标实验稿提出三维目标，课标修订后提出四基四能，现在是核心素养。这些目标之间并非后者否定前者，而是后者对前者的继承和发展。借助数学实验工具帮助学生开展数学学习，一直以来都是促进数学教育目标达成的有效手段，在当前关注学生核心素养培育的背景下仍然有助于充分挖掘数学教育的育人功能，促进学生素养的全而发展。

3.1有助于形成正确的价值观念

利用数学实验工具开展数学学习，为学生创设了熟悉的现实情境或数学情境、科学情境，为学生提供了发现和提出问题、分析和解决问题的机会，有利于学生充分感悟到数学来源于生活又服务于生活，充分领略到数学的科学价值、应用价值和文化价值，增强学习数学的动力和学好数学的信心。非智力因素是学习的动力源，激活动力才是有效的学习，数学学习以实验工具为载体，集多种感觉器官为一体，其显著效能是能够激发学生的学习兴趣，调动内在动机，由此引发智力参与，同时获得成功之后的成就感又能使兴趣得以持续，产生一种学习上的“动车效应”，有利于改变学生数学难学的负而印象，增强继续学好数学的信念。

1996年，联合国教科文组织21世纪委员会提出了学习的“四大支柱”即“四个学会”，其中之一是学会共处，即学会共同生活，学会与他人共同工作。世界经合组织及美国、欧盟都提出了自己的学生发展核心素养框架，它们都共同强调了“能在异质社会团体中互动”的素养，要求学生学会与他人合作。学生在开发数学实验工具的过程中有时需要与社会、企业打交道，向专家、老师请教，与同学合作，在使用数学实验工具进行探究学习的过程中与老师、同学合作交流更是必不可少。因此，开发应用数学实验工具有利于学生合作意识和能力的培养，增强对合作交流重要性的认识。

3.2有助于培养必备的思维品格

利用数学实验工具开展实验操作，是一个动手操作与动脑思考紧密结合、证伪与证实和谐统一、主动探究与意志努力相互促进的数学学习过程，有利于培养学生的理性思维能力、批判质疑的意识和勇于探究的精神，从而促进科学精神素养的培育；有利于培养学生乐学善学、勤于反思的优良学习品格和现代公民必须具备的信息意识，从而促进学会学习素养的培育；有利于培养学生的动手实践意识、问题解决能力和技术运用水平，从而促进实践创新素养的培育。

3.3有助于提升关键的数学能力

利用数学实验工具帮助学生开展数学学习，让抽象的数学知识变得形象直观，内隐的数学思维变得可视化，枯燥的技能训练变得有趣、有意义，有利于基础知识、基本技能目标的达成，特别是难点知识、重要技能的掌握；借助数学实验工具的数学学习不是结果性知识的直接灌输，而是一个让学生动手操作、动脑思考的主动学习的过程，在此过程中学生主动发现和提出问题、分析和解决问题，为学生感悟基本思想、积累基本活动经验提供了时空和机会。利用数学实验工具帮助学生开展数学学习有利于“四基四能”目标的全而实现，而“四基四能”则是培养学生数学关键能力的沃土，是发展学生数学关键能力的有效载体。

利用数学实验工具动手操作、动脑思考的数学学习过程，为数学关键能力的培养提供了必要的现实情境或数学情境、科学情境，提供了发现和提出问题、分析和解决问题的机会，学生得以从生活经验和己有的知识背景出发，通过实验操作等手段，从直观、想象到发现、猜想，最后得到验证，从感性到理性掌握数学概念和命题，使学生亲历数学知识的建构过程，从而有利于学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等关键能力的提升。

参考文献

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