数学教育“生活化”还是“数学化”

——基于数学教育哲学的思考

摘要：自新课程改革以来，关于“数学教育生活化”的争论就不绝于耳。别的学科教育生活化尽管也存在一些问题，但都没有数学教育领域的争论如此激烈。这说明“数学教育生活化”的问题与数学学科的性质具有根本关联。要阐明“数学教育生活化”引发的争议，需要从数学教育哲学视角进行深人分析。从数学教育哲学的视角看，无论在本体论、目的论还是方法论方面，“数学教育生活化”的观点都存在一定偏颇。“数学教育生活化”主要关注“横向数学化”，属于数学认识的初级阶段。基于数学学科的特性，“纵向数学化”在数学教育中具有更加重要的价值。因此，数学教育不应简单地走向“生活化”，而应该走向“数学化”。

关键词：数学教育哲学；数学教育生活化；数学化

2.3数学教育的方法论

如果说数学最基本的特性是理性精神，恐怕没人会提出质疑，但如果说，数学认识不需要借助经验，这恐怕会引起不小的争议。数学认识是遵循着由概念到概念还是由经验到概念的发展路径?生活经验是遮蔽还是促进了数学观念的认识?这是探讨数学教育方法论之前首先需要思考的问题。

(1)生活经验遮蔽还是促进了数学观念的认识

“生活经验遮蔽还是促进了数学观念的认识”是哲学史上争论不休的认识论问题，在柏拉图与亚里士多德那里，可以窥见不同观点的端倪。柏拉图强调经验世界与理念世界的不同，认为只有理念才能成为数学研究的对象，通过经验不能获得数学观念，甚至会妨碍、误导数学观念的认识，“我所说的意思是算术有很伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引人可见和可捉摸的对象…亚里士多德虽然接受了柏拉图的先验论，但与柏拉图不同的是，亚里士多德认为经验在数学观念获得过程中具有不可或缺的价值。也就是说，柏拉图是认为数学观念是超验的，是经验所不能把握的；而亚里士多德认为数学观念虽先验但并不超验，数学观念的唤醒常常需要经验的刺激。但他们都承认，数学在本质上是先验科学，当经验认识与数学观念不一致时，经验认识应服从数学观念，也就是与经验到概念的认识路径相比，由概念到概念的认识路径更加体现了数学学科的特点。反观我们的数学教育，在谈论数学教育生活化时，我们关注的是经验对数学观念认识的促进作用；在讲生活化妨碍了数学认识时，我们关注的是经验对数学观念的遮蔽。不同的认识论导致了不同的数学教育方法论。在数学教育方法论上，我们究竟应该关注经验归纳还是概念推导?关注生活中的数学还是结构的数学?

(2)数学教育的方法论：“生活的数学”还是“结构的数学”

欧内斯特把教师的数学观分成三类：问题解决的观点、柏拉图主义的观点和工具主义的观点。问题解决的观点把数学看成一个动态的、由问题推动发展的学科；柏拉图主义的观点把数学看成一个静态的永恒不变的学科，它通过逻辑而将知识组织成一个彼此联系的结构；工具主义的观点则把数学看成由事实、法则、技巧构成的一套工具，受过训练的工匠熟练地利用它达到一些外在的目的。CsCm“这些数学观决定了教师的数学教育观与教学模式。与此相似，弗赖登塔尔也根据教育实践中教师数学观的不同将数学教育划分为机械的、经验的、结构的和现实的四种教学模式。下面我们根据弗赖登塔尔的分类对数学教育实践中存在的四种教学模式进行分析。

机械主义教学模式即“教现成的数学”。这种教学模式主要是教师灌输选好的教学要点，学生通过死记硬背和强化训练来学习算法。教师严格按课本和教学计划讲授，学生没有经历探究的过程，而直接学到了数学结果，数学知识就像突然从天上掉下来的。这种数学教学既没有从学生的经验世界出发，也不能使学生掌握数学的知识结构与思想方法；既不符合学生的认识规律，又未切中数学的本质；既是“非心理”的，又是“非数学”的。不求甚解的填鸭式教学属于机械主义教学模式。

经验主义教学模式即“做生活中的数学”。这种教学模式从学生的数学现实出发，让学生在生活背景中感悟数学、理解数学，从而提高学生数学学习的兴趣与积极性，增进数学知识的理解。但是，如果运用不当，就会妨碍学生数学思维的抽象性。“数学教育生活化”基本上属于经验主义教学模式。

结构主义教学模式即“做结构的数学”。这种教学模式关注数学的结构性、严格性和符号化，要求学生像数学家那样思考数学，亲自去发现数学的规律和联系。由于过早强调抽象和演绎的教学，超越了多数儿童的学习能力，只能使少数数学天赋较高的儿童得到不错的发展，对于大多数儿童来说，难以通过这种教学获得应有的数学能力。尤其对于低年级学生来说，他们的抽象思维能力还没有获得很好地发展，过分强调形式化的教学，脱离了他们的实际理解能力和思维水平，致使他们难以理解所学数学知识的真正内涵。由皮亚杰、布鲁纳等发起的“新数运动”基本上属于结构主义教学模式。

现实主义教学模式以拟经验主义数学观为基础，组合了经验主义与结构主义教学模式的观点，可归结为“做生活—结构的数学”。弗赖登塔尔及其同事认为现实主义教学模式是一种理想的数学教学模式。这种教学模式既注重数学教学从现实生活出发，又重视数学教学的严格性与结构化；既注重经验的归纳，又注重概念的推导，并把它们分置于数学教学的两个方面、五个阶段。两个方面即横向数学化与纵向数学化，五个阶段即直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段与严谨阶段。与此类似，苏联数学家斯托利亚尔也把数学教学分为经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用三个阶段。乔治·波利亚(Geogre Polya)将数学教学过程分为三个阶段：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。探索阶段接近于学生的行动和感受；形式化阶段引入了具体概念，上升到概念化的水平上；同化阶段是一个洞察事物内部属性的尝试。

综上所述，“数学教育生活化”在本体论、目的论与方法论上的观点主要为：(1)在本体论上，认为数学是经验性科学，因为生活化就意味着经验化；(2)在数学教育目的方面强调实用性，认为数学教育要来自于生活，运用于生活；(3)在方法论上，认为数学认识遵循着由经验上升到数学观念的认识路径，数学教育要从学生的经验世界、生活世界出发，注重经验归纳的探究方法。可见，无论是在本体论、目的论与方法论方面，“数学教育生活化”的观点都有失偏颇。数学教育不应简单地走向“生活化”，而是应该走向“数学化”。

3、走向“数学化”：数学教育的发展方向

3.1“数学化”—数学教育的有效原则

“数学化”是弗赖登塔尔提出的数学教育的基本原则，是指数学地组织现实世界的过程。在弗赖登塔尔的数学化思想中，最重要的观点有三个。一是数学化的对象可被分为两类，一类是现实客观事物，一类是数学本身。对客观世界进行的数学化被称为横向数学化，其结果是数学概念、运算法则、规律、定理和为解决具体问题而构造的数学模型等；对数学本身进行的数学化被称为纵向数学化，其结果是不同层次的公理体系和形式体系。二是数学化的方法—“再创造”。弗赖登塔尔认为与其让学生学习现成的数学或已完成的数学，不如让学生学习活动的数学或再创造的数学。三是数学化的合理性标准—自然有效。数学化的教学既符合学生的心理特点、认识规律，也有利于学生深人掌握数学知识、数学结构，培养学生灵活的数学思维。“说它最自然，是因为生物学上‘个体发展过程是群体发展过程的重现’这条原理在数学学习上也是成立的，即数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律……说这种方法最有效，是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真被掌握，和可以灵活应用；而更为重要的是，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学。”

3.2“数学教育生活化”只是“数学化”的初级阶段

根据弗赖登塔尔对横向数学化与纵向数学化的区分，“数学教育生活化”主要属于横向数学化，也就是数学化的初级阶段。下面，我们引用弗赖登塔尔数学化途径的分析对这个观点做进一步阐述。

可见，机械主义教学模式既很少让学生经历横向数学化，也很少让学生经历纵向数学化；经验主义教学模式关注到了横向数学化，却忽略了纵向数学化的过程，很少关注到数学知识的抽象化、形式化特点；结构主义教学模式则与经验主义相反，关注到了纵向数学化，却忽略了横向数学化，忽略了学生的数学学习经验和学习基础；而现实主义的教学模式先从横向数学化出发，再进人纵向数学化阶段，在学习初始阶段关注到了学生的数学学习经验，在学习的高级阶段又关注到了数学学习的抽象化、形式化，是一种比较理想的教学模式。

因此，“数学教育生活化”只是数学化的初级阶段，过分、不恰当地强调“生活化”，有可能造成数学教育的“去数学化”。

3.3“纵向数学化”在数学教育中具有更加重要的价值

由于数学的基本思想主要体现为数学抽象、数学推理和数学模型，因此，在数学教育中，“纵向数学化”具有更加重要的价值。这便要求教师时刻关注数学学科的特点，即便是在横向数学化的教学中，也要尽量提升学生的抽象思维和逻辑推理能力。只有在学生缺乏经验基础而难以理解数学内容时，才要给他们提供经验背景，当学生能够脱离情境进行形式化思维时，就要引导他们进行概念推理。也就是说，即使在低年级数学教学中，我们也要关注数学思想方法的渗透，注重学生思维抽象性的提升。当然，在高年级数学教学中，遇到学生难以理解的数学问题，也可以借助学生的数学经验以及比较直观化的教学方法帮助学生思考。在数学教育中，我们应该根据具体的数学内容、学生的思维水平灵活选择横向数学化还是纵向数学化，相对来说，低年级学生横向数学化教学会多一些，高年级学生纵向数学化教学会多一些。但都需要教师明白，生活经验只是数学教育不得已而借助的手段，抽象思维、逻辑推理才真正地体现着学生的数学素养特点。

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