以标准分析和非标准分析两种微积分观点看运动论题和黑格尔的辩证法

答陈晓平教授《商榷》一文

摘要：陈晓平教授对笔者此前发表的两篇论文提出了质疑，而陈文提出无理数（如槡2、槡3、槡6等）是指一个无限小区间，这是违反常识的至于贝克莱将无穷小看作＂死去了的量的鬼魂”，他的批评不是指极限论的无限的小的潜无限，而是指莱布尼茨的实无限小用实无限小分析运动问题是当代重大课题，这就是非标准分析的运动观，可惜陈文没有从这个方面来讨论问题笔者在此从标准分析和非标准分析两种微积分观点来探讨哲学上的运动论题和黑格尔的辩证法，并着重以非标准分析微积分的基本概念，分析矛盾辩证法和芝诺悖论的解决关键词：标准分析非标准分析＂运动”论题矛盾辩证法实无穷小无限地小

中图分类号：N031 文献标识码：A 文章编号：1008-76992019）06-0026-07

—、从标准分析看哲学上的运动论题和黑格尔的辩证法

（一）关于辩证法所说的＂时点”与＂地点”

笔者近年来就运动论题与黑格尔矛盾辩证法分别发表了两篇论文＠，立足于逻辑学与科学哲学的视角，论证了黑格尔矛盾辩证法不能解决芝诺悖论。陈晓平教授对笔者的部分观点提出了商榷。他在《商榷》一文中说＂辩证法则是把时间和空间上的点当作具体的存在，它们不是常数0，而是作为变数的无穷小"[12。＂把黑格尔和恩格斯所说的时刻'和地点'看作没有长宽高的欧几里得点"，＂肯定是一种错位或误解。"[12对此笔者请问陈教授黑格尔和恩格斯在哪里说过辩证法运动的＂此时点"＂此地点"指的是无穷小变量？笔者认为陈教授的此种理解才是强加在恩格斯头上的＂错位或误解"，其目的是想说明矛盾辩证法＂在这一点同时又不在这一点"既容易理解，也可以不用矛盾辩证法来说明，＂又合乎形式逻辑"。所以他说这是他对＂运动论题给以初步辩护"。不过这个辩护并不成功，既然＂此时"＂此地"指的是无穷小变量，为什么黑格尔和恩格斯不说＂运动是在这一无穷小处，又不在这一无穷小处"？所以，下一步，他要对标准分析的微积分概念进行修改，认为柯西的极限定义的关键是无穷小量，无理数槡2等等也指的是无穷小区间等等，而这个工程真是非同小可的了！

（二）关于极限定义的本质

柯西极限定义的本质是无穷小变量吗？陈晓平的《商榷》一文（后简称＂陈文")转引了王树禾的《数学思想史J[2中的一段话，由此认为＂19世纪法国数学家柯西（Adno9，17891857）给出无穷小西的比较精确的定义，其定义的本质就是把无穷小量表述为一个变量x而不是常数，其变化区间是0<x<o，o是一个任意小的正数。柯西在其《分析教程J[3中指出当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任何给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量，这样的变量将以0为极限。"陈文认定柯西主张＂无穷小量"，这是对柯西极限定义的一种误解。柯西的2o方法，形式地说，就是ds，即20，00，满足当t<0，则 1J<2。柯西方法的本质就是从严格的数学表述出发，没有出现无穷小量的表达式。同时，未将导数看作是两个增量的比值（不是两个无穷小量的比值），而是当t0时的某个极限值的符号。任何一本高等数学书现在都是这样写的。并且将t0表达为0<t<0，2，0是无论什么样的正实数。陈晓平引用了柯西的极限定义，柯西在其《分析教程J中指出的是＂无限小"是对于＂给定"（特别是这个定字）的实数来说的，它是无穷地小（n9yd），是一个潜无穷，而不是完成了的实无穷（nyd）。＠＂n9yd"与＂nyd"这两个词有根本的区别，前者可译为＂潜无穷"，后者可译为＂实无穷"。如果倒回来用实无穷小变量来解释柯西的极限定义，对标准分析来说，是一个倒退。另外，我与陈文的理解不同，柯西的20进路根本没有讨论实无限。根本不是陈文所说的极限过程是潜无限，极限值是实无限，这么一回事。