数学核心素养的理解与生成路径

——数学课程

高中数学核心素养生成路径的探索

依靠数学抽象过程生成数学抽象核心素养数学抽象主要包括数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出来的数学概念及其之间的相互关系．函数是高中数学核心内容，高中的数学抽象主要集中体现在函数概念形成过程上，因此可以借助函数这一抽象概念，培养学生感悟数学抽象的不同层次，引导学生生成数学抽象核心素养．函数最早源于人们对动点轨迹的探索，变量的引入实现了函数第一次抽象，这时的函数概念还具有一定的描述性；当人们很少限制函数表达式，而转向采用对应来定义函数就实现了函数第二次抽象，这时的函数概念不再是对一个过程的描述，法则的引入使函数脱离了图像、表格、表达式的具体表现形式， 依赖于集合的对应使函数更加抽象；碍于对应法则的模糊不清，布尔巴基学派开始采用关系来定义函数时，这实现了函数的第三次抽象，这时函数的概念最为抽象，函数概念不需要对应法则而成为一种关系．函数概念的 3 次抽象是数学从几何观念到代数观念，再到对应观念的发展过程．数学抽象需要学生积累从具体到抽象的数学活动经验，通过对概念、命题、定理的理解，把握事物的数学本质属性，逐步形成一般性思考问题的方法．

凭借数学理性思维生成逻辑推理核心素养

逻辑推理主要包括合情推理与演绎推理两种推理形式， 对于逻辑推理核心素养的生成关键在于培养学生清晰的、有条理的、合乎逻辑的理性思维品质．所谓数学理性思维是指通过观察、体验、经历及内化等过程逐步形成理性的思考问题、分析问题、解决问题的思维方法和价值观[10]，理性有 两个方面的意义：一是指属于判断、推理等活动的理性认识； 二是指从理智上控制行为的能力．无论是对判断、推理等活动的理性认识，还是理智上控制行为的能力，都与逻辑推理密不可分．

在培养逻辑推理核心素养的过程中，首先需要弄清楚推理模式，高中数学中合情推理的模式如图 2 所示，人认识客观事物总是从个别到一般，合情推理符合人的认知规律，可以借助数学中的猜想，如歌德巴赫猜想、费马猜想、歌尼斯堡七桥猜想等培养学生的合情推理．合情推理所得到的猜想是有争议的、冒险的、暂时的，尽管如此，这种猜想也是理性思维指导下形成的猜想，通过观察、分析、抽象、概括等阶段，同样具有逻辑性；演绎推理的模式 为y Î{"x | P(x)} Þ P( y) ，在某个问题领域中任意 x 具有性质P，y 是此领域中一个特殊个体，则 y 亦具有性质 P．高中的数学证明主要是通过演绎推理来进行的，正如德国数学家外尔（Hermann Weyl）所说：“如果经验已经暗示了一个假说，我们就必须演绎地展开其种种推论，以期得到可以用实验检验的命题．”[11]这些证明过程充满了数学理性思维，因此，可以借助高中数学中的代数证明与几何证明来培养学生的演绎推理．

利用数学综合实践生成数学建模核心素养

数学建模包括在实际情境中从数学视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题，如图 3 所示，数学建模是从现实世界抽象出数学问题，进入数学世界，再通过解决数学问题， 最终回归现实世界的过程．数学综合实践包含两个层面，一是理解数学内容在知识、问题和方法上的联系，综合运用数学知识和方法解决数学问题；另一个是数学内容与现实问题的综合，利用数学知识和方法解决现实问题．在数学建模过程中，蕴含着综合实践的两个层面，在数学模型求解过程中涉及综合实践的第一个层面，在构建数学模型与数学模型还原过程中涉及综合实践第二层面．在高中数学中，数学综合实践更多通过应用题的形式展开，以实际生活为背景，实现数学知识生活化与实际问题数学化的结合．Mayer 曾经提出数学问题解决的两个重要成分：问题表征和解决计划的执行[12]．因此在数学建模核心素养生成过程中，关键在于通过综合实践的两个层次的训练，培养学生用数学的眼光发现问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题．

联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象集中体现在利用几何直观与空间想象解决数学问题， 因此，要在数学问题的解决过程中，将问题表征、图式构建与学生思维有机结合，从而生成直观想象核心素养．对于几何直观而言，建立形与数的联系是几何直观的内核，以此为基础培养学生数形结合思想方法在问题解决过程中的应用．高中数学中体现数与形结合的核心知识包括函数与方程、向量、解析几何，以函数为例，函数的单调性中蕴含着函数的形态变化与规律，函数的奇偶性展现了图象的对称关系，除此之外，函数还可以作为研究曲线与方程的直观模型．例如，可以借助函数图象研究切线与导数的关系，借助函数零点解决方程的近似根问题，等等，利用“形”的方法处理解析几何中的代数问题往往会使抽象、复杂的问题形象化、简单化，这些都可以培养学生的几何直观；对于空间想象，可以从向量的视角分析立体几何的相关问题，利用向量解释空间图形的运动变换与位置关系，利用三视图描述二维与三维之间的联系，形成新的问题解决思路，培养学生的空间想象，由此在问题解决过程中增强学生运用图形和空间想象思考问题的意识，促进直观想象核心素养的形成[13-18]．