数学抽象

数学抽象的类型

根据抽象对象的不同，数学抽象可分为性质抽象、关系抽象、等置抽象等。所谓性质抽象是指关于研究对象某一方向的性质或属性的抽象，如人们从量与量之间的相互依赖关系中抽象出函数的概念。所谓关系抽象是指关于研究对象的数量关系或空间位置关系的抽象，直线与直线平行、平面与平面垂直是关系抽象的结果，数与数之间的大小关系、倒数关系也是关系抽象的结果。等置抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象。自然数概念是等置抽象的结果，其本质是某类等价集合的标记，即集合a,a,a与b,b,b之1 2n1 2n后具有绝对精确的特点。例如，圆是平面内到定点距离等于定长的点的轨迹，任何一个点要么在圆上，要么不在圆上，间可以建立一一对应关系，它们是“对等”的。

根据抽象方向的不同，数学抽象可分为弱抽象与强抽象。所谓弱抽象，也叫做“ 扩张式抽象”，是指对事物某一方面特征（或侧面）加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式。如按“ 正比例函数→ 一次函数→ 初等函数→ 函数→ 映射” 顺序进行的抽象就是弱抽象。弱抽象的特点是研究对象的外延不断扩大，内涵不断缩小。所谓强抽象，也叫做“ 强化结构式抽象” ，是指通过扩大研究对象的特征，从而形成比原对象更为特殊的概念或理论的一种抽象方式。如按“ 映射→ 函数→ 初等函数→ 一次函数→ 正比例函数” 顺序进行的抽象就是强抽象。强抽象的特点是研究对象的外延不断缩小，内涵不断扩大。弱抽象与强抽象是人们认识事物的两种基本方式：通过弱抽象，人们可以把结论推广到更一般的情形；通过强抽象，人们可以更深刻地认识事物某一方面的特征。

数学抽象的意义与价值

数学抽象的学科意义与价值

徐利治认为，数学是运用抽象分析法研究事物关系结构的量化模式的科学^[7]。希尔伯特认为：“ 在数学中，像在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的、有条理的处理。另一种是直观的倾向， 即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间的关系的具体意义，也可以说领会它们的生动的形象。” ^[8]史宁中认为：数学发展所依赖的基本思想有 3 个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁^[9]。因此数学抽象是数学发展最基本的手段与方式。它贯穿在数学知识的形成、产生、发展与应用的过程中，并使数学成为高度严谨、高度精确、应用广泛、结构性强的学科。

数学抽象的教育意义与价值

杜威认为：“ 抽象是教育所要达到的目的；它是对理智问题自身的兴趣，是为思维而思维的一种嗜好。”^[10]怀特海认为，数学课程的目标是“ 学生能够通晓抽象思维，能够认识到它是如何应用于特殊而具体的环境，应该知道怎样在合乎逻辑的调查研究中使用一般的方法” ^[11]。数学抽象使数学变得简单、简约，富有逻辑与条理，因此它利于学生更好地理解数学知识的层次性与结构性，更好地把握数学知识的本质。由于数学抽象旨在寻找事物共同的、本质的属性，因此它利于学生养成从更一般意义和方法上思考问题的习惯，进而发展概括抽象能力，提升理性思维水平。

王光明等人的研究表明：抽象思维能力对数学学习的效率与效益具有显著的影响；在抽象思维水平上，高效组显著高于普通组与低效组学生，普通组明显高于低效组学生；抽象思维能力、推理分析能力、关系判断能力对学生数学学习效率均有显著影响，其中影响效果最大的是抽象思维能力；提高学生的抽象思维能力有助于提升数学学习效率^[12]。这种情况的发生是由于数学抽象思维和抽象能力具有较强迁移的功能，能放大知识与能力的效能，进而帮助学生更好地解决现实和其它学科中的相关问题。由于数学抽象的本质是数学创造，因此它利于学生在更高层次上学会学习数学、学会创造数学。

数学抽象的过程与方法

按照抽象的程度不同，史宁中把数学抽象分为简约阶段、符号阶段、普适阶段等 3 个阶段，其中简约阶段主要是把握事物在数量或图形方面的本质，把繁杂问题简单化、条理化， 并清晰地表达；符号阶段主要是去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约化的事物；普适阶段主要是通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律^[13]。徐利治认为，数学研究中的抽象思维过程基本上经历 4 个阶段：第一阶段主要研究数学现象问题； 第二阶段主要是对各种具体数学属性进行分析，逐步去掉非本质属性；第三阶段，对于已经了解其结构的数学事实，确定其本质属性或特征；第四阶段，对基本上被确定的数学概念进行不断纯化^[14]。以上两位大家站在学科高度对数学抽象的过程和阶段进行了划分，深化了人们对数学抽象的认识。这里站在数学教学视角，按通常情况下学生学习时认知的先后顺序，把数学抽象分为感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等 5 个阶段。

感知与识别

理性认识源于感性认识；数学抽象源于数学直观，源于人们的观察与感知。数学的发展、学生的数学学习在很大程度上依赖于直观，并且越是抽象的知识越需要依靠生动的直观和能被直观感知的具体。数学发展史上，抽象的负数、虚无缥缈的虚数都曾依靠其几何直观才被人们所广泛接受。因此数学抽象的前提是对客观事物数量关系或空间形式的观察与感知，或者是对需要进一步抽象的数学对象的观察与感知。通过观察、感知和比较，人们发现、识别不同对象之间的相同点和不同点。而这些相同点和不同点就成为下一步区分、归类、概括的基础；其中不同点使研究对象分为不同的类，相同点成为区分这类对象与其它类对象的特征。