数学抽象教学

分类与概括

“ 抽象” 的英文abstract 源于拉丁语abstracio，其本意是排除、提取。斯根普（Skemp）认为，抽象与分类紧密相联， 抽象首先是识别事物间的相似性，然后通过“分类”（classifying）将具有相似性的事物收集起来，最后为了描述抽象结果，定义一个概念^[15]。因此数学抽象是在感知与识 别的基础上，从数与形两方面对事物本质属性进行分类与概括。这里的分类包含两层意思：一是提取，即从特定的背景中提取、明晰研究对象。如为了研究摩天轮旋转时它上面椅子位置的变化情况，确定从椅子的横坐标 x、纵坐标 y（假设已经以摩天轮的中心为原点建立了直角坐标系）和旋转角度三个维度进行研究。二是分类，即把所有具有共同特征的事物从整体中分离出来。分类与抽象互为前提和条件：分类离不开抽象，抽象也离不开分类；数学抽象需要把具有共同属性的数学对象放在一起作为一类，进而在分类的基础上，从不同的数学对象中概括出共同的本质属性。如，把三角形、函数分别从多边形、映射中提取出来作为独立的一类。

想象与建构

皮亚杰（Piaget）将抽象分为两个阶段：一是经验性抽象（ empirical   abstraction ）与伪经验性抽象（ pseudo-empiricalabstraction）阶段，其中前者直接来源于客观对象本身及其性质，后者源于作用于客观对象上的行动；二是反思性抽象（reflective abstraction）阶段，即个体在前两种抽象形成一些想法的基础上，建立它们之间的联系，形成概念与关系。史宁中根据抽象程度的不同，将数学抽象可分为感性抽象和理性抽象。其中感性抽象是指把现实中的一些与数量和图形有关的东西引入数学内部，形成数学概念、法则和模型；理性抽象是指对进行感性抽象得到的思想材料进行再抽象，是从此理性具体到彼理性具体的思维过程[16]。为了纯粹地、精确地从形与数两方面研究现实世界，必须把数学与现实世界进行驳离，在形式与关系两方面进行自由地创造；而这种自由创造，离不开人类思维的想象与建构。通过想象，在纯粹的形式上和理想的状态下建构数学概念和法则是数学抽象的基本方法。没有大小的点，没有粗细的、曲率为 0 的无限延伸的直线，相同条件下可以重复试验的随机事件等，都是在抽象的基础上通过理想化、形式化的想象建构的。函数概念，从初中定义的“ 一个变化过程” 到高中定义的“ 两个非空数集” 是一种想象与建构；四元数、n 维空间、极限、导数、非欧几何、无限集的“ 势” 更是数学家自由想象、建构的产物。因此数学概念、数学法则源于常识与经验，但又超越常识与经验。它们是人类想象力、创造力与现实世界完美结合的产物。

定义与表征

命名是不可或缺的步骤和条件，科学的独特工作就是建立在这种明确限定的行为之上^[17]。这里所说的“ 命名” 即数学上的定义。如果数学抽象的产物是数学概念，那么就需要以定义的形式对它的本质特征，或内涵，或外延给出确切而简约的界定与表征。如果数学抽象的产物是数学法则与模型， 或者是数学思想方法与数学体系，那么就需要用数学语言进行精确地刻画与表征。也就是说，数学抽象需要在用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界的基础上，用数学语言表征世界，进而为数学交流和用数学工具改造世界奠定基础。

系统化与结构化

柯朗曾指出：“ 一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越出直接实用的局限。” ^[18]弗赖登塔尔曾把数学化分为水平数学化与垂直数学化^[19]。其中水平数学化是指由现实问题抽象为数学问题、 建立数学模型的过程；垂直数学化是指在水平数学化的基础上，按照数学知识发展的内在逻辑，对数学材料进行组织、整理和拓展，形成某种数学知识体系。一个新的重要的数学概念一旦建立，就必然按照其自身的逻辑发展，通过组织、整理和拓展，建立一个或大或小的知识体系，形成系统化、结构化的知识网络。如人们由力、位移、速度等抽象出向量概念后，就必然要定义向量的各种运算、研究向量之间的关系。在给出向量有关运算法则后，又必然研究它们的运算律， 研究如何运用向量知识解决几何、物理等生产和生活中遇到的问题。不仅如此，向量的概念在不断发展，由平面向量到

空间向量，再到 n 维向量；向量的运算也在不断发展，由加减运算到数乘、数量积（即内积）运算，再到向量积（即外积）等。因此系统化、结构化既是数学抽象的产物，也是数学抽象的方向与要求。

数学抽象教学的策略与方法

夯实数学抽象的基础

抽象源于具体，理性源于感性。数学抽象的前两步分别是感知与识别、分类与概括，其第一阶段是感性抽象或经验性抽象，第二阶段是理性抽象或反思性抽象。相应地，数学教学应在明确研究对象的基础上，强化学生的观察、直观感知（包括动手操作和思维实验），强化学生对抽象对象相似性的识别，让学生更深入、更充分地感知抽象对象，熟悉它们的形象，感受它们的内涵与本质，夯实抽象的基础。也就是说，从具体事例的相似性识别开始应当是数学抽象教学的一条基本原则；由真实事物出发，给学生的思维插上想象的翅膀，搞清楚新旧抽象概念之间的逻辑相关性，是数学抽象的基本做法^[20]。

指导数学抽象的方法

智慧是掌握知识的方法；真正有用的教育是使学生透彻地理解一些一般原理，这些原理能够运用到各种不同的具体细节中去^[11]。数学抽象教学也一样。在把现实问题转化为数学问题、数学模型的过程中，最常用、最具有数学特点的抽象方法有 3 种。一是数学化。即舍弃事物的一切非数学属性， 只从数与形两方面对其进行抽象。如数的产生只关注数量的多少，而省略其它一切因素；几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果^[4]。二是理想化。即对现实事物通过一般化、理想化处理，最后得到超越现实的数学模型。如把生活中各种不需要考虑长短、粗细、比较直的线抽象为数学意义上的绝对直的（即曲率为 0）、无限延伸的直线。三是符号化。数学世界是一个符号化的世界；数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，是对现实世界数学关系的反映结果^[21]。